Question

Bestimmen Sie durch partielle Integration das unbestimmte Integral

$$\int x(1+x)^{\frac{1}{2}} d x$$

Welche Formel muss ich benutzen?

1) $$\int \limits_{}^{}u\cdot v´=u\cdot v-\int \limits_{}^{}u´\cdot v$$

oder

2) $$\int \limits_{}^{}u´\cdot v=u\cdot v-\int \limits_{}^{}u\cdot v´$$

und warum?

Comments

Probiere beide Formeln aus, wenn du es noch nicht getan hast.

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Mit der Zweiten Formel komme ich aber nicht auf das Ergebnis.

Answer 1

Aloha :)

Beide Formeln sind gleichwertig. Sie stammen aus der Produktregel beim Ableiten:$$\left(u(x)\cdot v(x)\right)'=u'(x)\cdot v(x)+u(x)\cdot v'(x)$$und dem 1-ten Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung, dass (einfach gesagt) das Integrieren das Gegenteil vom Ableiten ist:

$$\int\left(u(x)\cdot v(x)\right)'\,dx=\int u'(x)\cdot v(x)\,dx+\int u(x)\cdot v'(x)\,dx$$$$u(x)\cdot v(x)\quad\quad\quad\;\;=\int u'(x)\cdot v(x)\,dx+\int u(x)\cdot v'(x)\,dx$$Dieses Ergebnis kannst du nach einem der beiden Integralen umstellen.

In beiden Fällen musst du eine der beiden Funktionen ableiten und die andere Integrieren. Hier macht es Sinn, dass $x$ abzuleiten, weil dann in dem verbliebenen Integral eine $1$ auftaucht:

$$\int\underbrace{x}_{=u}\cdot\underbrace{\left(1+x\right)^{\frac12}}_{=v'}dx=\underbrace{x}_{=u}\cdot\underbrace{\frac23\left(1+x\right)^{\frac32}}_{=v}-\int\underbrace{1}_{=u'}\cdot\underbrace{\frac23\left(1+x\right)^{\frac32}}_{=v}dx$$$$\phantom{\int\underbrace{x}_{=u}\cdot\underbrace{\left(1+x\right)^{\frac12}}_{=v'}dx}=\frac23\,x\left(1+x\right)^{\frac32}-\frac4{15}\left(1+x\right)^{\frac52}+\text{const}$$

Comments

Danke Tschakabumba!

Jetzt erkenne ich, dass man den Term Ableiten sollte, was zu einer 1 wird.

Answer 2

Es gibt keinen nennenswerten Unterschied zwischen den beiden Formeln.

Comments

Wenn ich die zweite Formel nutze, komme ich nie auf das Ergebnis, da der Term immer größer wird.

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Es ist

$\int x(1+x)^{\frac{1}{2}} \mathrm{d} x = \int (1+x)^{\frac{1}{2}}\cdot x\ \mathrm{d} x$

Answer 3

Bei der Partiellen Integration brauchst du immer einen Faktor der abgeleitet sehr viel einfacher wird und einen Faktor der beim integrieren am besten nicht schwieriger wird.

Sollte ein faktor eine lineare Funktion sein, dann nutze die meist zum Ableiten. Es gibt auch Ausnahmen z.B. 1 * ln(x). Aber grundsätzlich kann man probieren den linearen Teil abzuleiten. Da bei dir der lineare Faktor der erste Faktor ist Probierst du es hier mit der Formel 1.

Also x zu 1 ableiten und (x + 1)^(1/2) zu 2/3·(x + 1)^(3/2) integrieren.

Answer 4

mit Rechenweg:

https://www.integralrechner.de/