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Aufgabe

Ganzrationale Funktionen
Bestimmen Sie ein Polynom p(x) 4. Grades mit den Eigenschaften: p(x) ist gerade, der
Funktionsgraph schneidet die x− Achse bei x= 1 und x= 4 und die y− Achse bei y= −1.


Problem/Ansatz:

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Hallo,

hat ein Polynom die Nullstelle x=1x=1, so enthält es den Term (x1)(x-1) als Teiler. Ist das Polynom gerade, muss es auch die Nullstelle x=1x=-1 und damit den Term (x+1)(x+1) enthalten. Fasst man dies zusammen, kommt man schon auf (x212)(x^2-1^2) (-> 3.Binomische Formel).

Genau das gleiche gilt für die Nullstelle x=4x=4. Damit ist p(x)p(x)p(x)=a(x212)(x242)p(x)= a(x^2-1^2)(x^2-4^2)Den Faktor aa findet man aus

schneidet ... die y− Achse bei y= −1

p(0)=1    p(0)=a(1)(16)=1    a=116p(0) = -1 \\ \implies p(0) = a \cdot (-1)\cdot (-16) = -1 \\ \implies a = - \frac1{16}

Plotlux öffnen

f1(x) = -(x2-1)(x2-16)/16

p(x)=116(x21)(x216)=116(x4+17x216)p(x)= -\frac 1{16}(x^2-1)(x^2-16) = \frac1{16}\left(-x^4 + 17x^2 - 16\right)

Gruß Werner

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Hi,


"gerade" ist schon ein Schlagwort, dass den allgm Ansatz von y=ax4+bx3+cx2+dx+ey = ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e auf y=ax4+cx2+ey = ax^4 + cx^2 + e reduziert. Die ungeraden Glieder fallen also raus und wir haben eine Achsensymmetrie.

Nun sind es noch drei Unbekannte, die wir mit den Bedingungen:

f(1) = 0

f(4) = 0

f(0) = -1

lösen können.


Ich komme auf: f(x)=0,0625x4+1,0625x21f(x) = -0,0625x^4 + 1,0625x^2 - 1


Alles klar?

Grüße

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Benutze http://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/steckbrief.htm zur Hilfe und Selbstkontrolle

Eigenschaften

f'(0)=0
f'''(0)=0 → Die ersten beiden Bedingungen stehen hier für eine gerade Funktion 4. Grades
f(0)=-1 → Yachsenabschnitt
f(1)=0
f(4)=0 → Die letzten zwei Bedingungen stehen für die Nullstellen

Gleichungssystem

d = 0
6b = 0
e = -1
a + b + c + d + e = 0
256a + 64b + 16c + 4d + e = 0

Errechnete Funktion

f(x) = -0,0625·x4 + 1,0625·x2 - 1

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Bestimmen Sie ein Polynom p(x) 4. Grades

(1)        p(x)=ax4+bx3+cx2+dx+ep(x) = ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx+e

p(x) ist gerade

In (1) ist dann b=0b=0 und d=0d=0. Es bleibt also nur noch

(2)        p(x)=ax4+cx2+ep(x)= ax^4 + cx^2 + e

übrig. Du brachst drei Bedingungen um ein Gleichungssystem aus drei Gleichungen aufzustellen um die drei Unbekannten aa, cc und ee zu bestimmen.

der Funktionsgraph schneidet die x− Achse bei x= 1

Der Funktionsgraph schneidet die x−Achse wenn die y-Koordinate des Punktes auf dem Funktionsgraphen 00 ist. Das ergibt die Bedingung

    p(1)=0p(1)= 0.

Einsetzen in 22 liefert die Gleichung

(I)        0=a14+c12+e0 = a\cdot 1^4 + c\cdot 1^2 + e.

die y− Achse bei y= −1.

Der Funktionsgraph schneidet die y−Achse wenn die x-Koordinate des Punktes auf dem Funktionsgraphen 00 ist. Das ergibt die Bedingung

        p(0)=1p(0) = -1

Einsetzen in 22 liefert die Gleichung

(II)        1=a04+c02+e-1 = a\cdot 0^4 + c\cdot 0^2 + e.

Finde die dritte Gleichung und löse das Gleichungssystem.

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Gefragt 16 Okt 2015 von Gast