M B B(T) und Rest bestätigen?

Question

Ich muss bei einer Aufgabe \( B_{\mathcal{B}}^{\mathcal{B}^{\prime}}, B_{\mathcal{B}^{\prime}}^{\mathcal{B}} \)  und \( M_{\mathcal{B}}^{\mathcal{B}}(T)  \) berechnen.

Gegeben sind:

B als Standardbasis für R³,

und \( \mathcal{B}^{\prime}=\left\{\left(\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ 1\end{array}\right),\left(\begin{array}{l}0 \\ 1 \\ 1\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}0 \\ 1 \\ -1\end{array}\right)\right\} \) und \( M_{\mathcal{B}^{\prime}}^{\mathcal{B}^{\prime}}(T)=\left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1\end{array}\right) \)

                                1    0    0                            1       0       0                                        1    0    0
Ich habe für B B' B =   1    1    1   , für B B B' =   -1     1/2    1/2    und für M B B(T) =     0    0    1     raus.
                                  1    1   -1                            0     1/2   -1/2                                       0    1    0

Könnte mir vielleicht jemand von euch dieses Ergebnis bestätigen?

Answer 1

Hallo,

wenn du \(B_{\mathcal{B}}^{\mathcal{B}'}\) berechnest, musst du eigentlich kaum nachdenken, denn du kannst immer einfach die Einträge als Vorfaktoren nutzen, um den Vektor bzgl. \(B\) auszudrücken. Beispiel:$$ \begin{pmatrix} 1\\1\\1 \end{pmatrix}=1\cdot \begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}+1\cdot \begin{pmatrix} 0\\1\\0 \end{pmatrix}+1\cdot \begin{pmatrix} 0\\0\\1 \end{pmatrix}$$ Damit hast du \(B_{\mathcal{B}}^{\mathcal{B}'}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 1  \\ 1 & 1 &-1\end{pmatrix} \). Wegen \(B_{\mathcal{B}'}^{\mathcal{B}}=\left(B_{\mathcal{B}}^{\mathcal{B}'}\right)^{-1}\) gilt:$$B_{\mathcal{B}'}^{\mathcal{B}}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 1  \\ 1 & 1 &-1\end{pmatrix}^{-1}=\frac{1}{2}\begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ -2 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & -1 \end{pmatrix}$$ Dann gilt:$$M_{\mathcal{B}}^{\mathcal{B}}(T)=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 1  \\ 1 & 1 &-1\end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 &0 \\ 0 &0 &-1 \end{pmatrix}\frac{1}{2}\begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ -2 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & -1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 0 &0 \\ 0 & 0  & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}$$

Comments

Vielen Dank für die Bestätigung !