Basen finden bzgl ker und Lim?

Question

Es sei \( L:\left(\mathbb{Z}_{7}\right)^{4} \rightarrow\left(\mathbb{Z}_{7}\right)^{3} \) die lineare Abbildung mit Darstellungsmatrix

$$ \left(\begin{array}{cccc} 1 & 2 & 5 & 2 \\ 3 & 2 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 3 & -1 \end{array}\right) $$
bezüglich der Standardbasen dieser Räume. Finden Sie Basen für ker \( L \) und \( \operatorname{Im} L \).

ich weiß hier leider absolut keinen Ansatz. Kann mir bitte jemand erklären wie ich hier vorgehe und zu tun habe?

Answer 1

Du musst einfach nur Gauss-Algorithmus anwenden,

allerdings modulo 7 rechnen.

1 2 5 2
3 2 0 1
1 1 3 6

3. Zeile minus erste

1  2 5  2
3  2 0  1
0 -1 -2 4

bedenke -1 und -2 mod 7 zu betrachten, also

1  2 5  2
3  2 0  1
0  6 5  4

jetzt 1. Zeile mal 3, damit sie von der 2. abzuziehen ist

3  6 1  6   bedenke: mod 6 
3  2 0  1
0  6 5  4

jetzt 2. minus erste

3  6 1  6  
0  3 6  2
0  6 5  4

jetzt ist die dritte gerade das Doppelte

der zweiten, also gibt es

3  6 1  6 
0  3 6  2
0  0 0  0

Also kannst du x3 und x4 frei wählen (etwa s und t ) und

jetzt damit x1 und x2 berechnen

3x2 +6s + 2t = 0

3x2 = -6s - 2t

x2 = -2s -3t = 5s+4t

alles in die erste Gleichung

1 2 5 2

x1 + 2*(5s+4t) +5s + 2t = 0

x1  + 10s+8t +5s + 2t = 0

x1  + 15s+10t = 0

x1  + s+3t = 0

x1 = -s -3t = 6s + 4t

also alle Vektoren im Kern von der Form

(6s + 4t ;   5s+4t ;  s ; t )

= s*(6 ; 5 ; 1 ; 0 )  + t*(4 ; 4 ; 0 ; 1 )

Basis von Kern also    (6 ; 5 ; 1 ; 0 )  und (4 ; 4 ; 0 ; 1 ).

Also dim(Kern)=2 und

somit dim(Im) = 2. Musst also nur 2 linear

unabhängige Spalten der Matrix auswählen.

Comments

Du hast Dich ganz am Ende verschrieben: Die erste Komponente des "s-Vektors" ist 6 und nicht 5 - oder?

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Ja, stimmt. Korrigiere ich.