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Ich muss die Eigenwerte/-räume von A bestimmen.

A=

122
321
240

∈ F_5

Bei dem charakteristischen Polynom kommt Folgendes raus:

x3-x2+x+3

Laut Musterlösung wird die Nullstelle 1 erraten:

Man wendet folgende Polynomdivision an:

(x3+x2+3)÷(x+4)

Ergebnis (x2+2x+2)


Danach errät man die Nullstelle 2:

(x2+2x+2):(x+3)

Ergebnis: (x+4)


Kann mir jemand erklären, wie ich darauf komme durch (x+4) und (x+3) zu teilen?

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Kontrolliere nochmal das charakteristische Polynom. Und auch die geratene Nullstelle.

blob.png

Okay, das char. Polynom, was ich aufgeschrieben habe, steht auch in der Musterlösung

das char. Polynom, was ich aufgeschrieben habe, steht auch in der Musterlösung

Ändert nichts daran, dass es nicht das charakteristische Polynom der Matrix ist. Auch Musterlösungen können Fehler enthalten.

x^3-x^2+x+3

Laut Musterlösung wird die Nullstelle 1 erraten.

Das Polynom hat bei 1 keine Nst. Und ist auch nicht das charakteristische Polynom.

Man wendet folgende Polynomdivision an:

(x^3+x^2+3)÷(x+4)

Ergebnis (x2+2x+2)

Das ist zwar richtig gerechnet aber woher kommt das rote Polynom? Es ist weder das charakteristisch Polynom, noch das Polynom von oben (blau). Irgendwas ist hier alsofaul. Die korrekten Ergebnisse kannst du dem Bild entnehmen. Oder ist die Matrix falsch angegeben?

Ja, ich sehe, dass ich mich mit der Matrix vertan habe

So, die richtige Mazrix lautet:

A=

222
321
240

Und bevor man das char. Polynom ausrechnet, rechnet man "-A" in F5 ausrechnen, also

-A=

-2-2-2
-3-2-1
-2-40

Das ist in F5:

333
234
310


Ok, jetzt stelle ich mir aber die Frage, wieso man "-A" ausrechnet?

Tut mir leid, für den Fehler.

2 Antworten

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Es gilt

        \(1\equiv -4\mod 5\).

Man kann also anstatt durch \(x - 1\) zu teilen auch durch \(x - (-4)\) teilen.

Analog dazu kann man die Division durch \(x-2\) ersetzen durch eine Division durch \(x+3\).

Avatar von 105 k 🚀

Ja genau, so habe ich das auch mittlerweile, aber ich habe was anderes bei x+3, also gestern wurde mir erklärt, dass man sich die Zahl ohne x angucken muss. Das wäre hier die 3, ihre Teiler sind +/-3 und +/-1. Dann habe ich -3 in das char. Polynom eingesetzt und bekomme -15 raus. -15 ist in F5 eine 0. Deswegen dann (x-(-3)) -> (x+3) und 3 ist im F5 eine 3. Ist das falsch?

Oder muss ich nicht immer auf die Zahl ohne X gucken?

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Ok, jetzt stelle ich mir aber die Frage, wieso man "-A" ausrechnet?

Das ist vermutlich eine Zwischenrechnung, um das charakteristische Polynom \(p(x)=\det(xI-A)\) zu berechnen. Das Ergebnis ist \(p(x)=x^3+x^2+3\). Nun soll \(p\) in Linearfaktoren zerlegt werden, um die Eigenwerte zu ermitteln. Dafür kommen in der Tat die Teiler des Absolutglieds von \(p\) (also die Zahl ohne x) in Frage. In einem Körper (wie auch \(\mathbb F_5\) einer ist), sind das aber außer der Null alle Körperelemente. Hier gibt es nur fünf Elemente, die am besten einfach nacheinander für \(x\) in \(p(x)\) eingesetzt werden. Man erhält:
\(p(0)=3\\p(1)=0\longrightarrow\text{Treffer}\\p(2)=0\longrightarrow\text{Treffer}\\p(3)=4\\p(4)=3.\)
Damit hat man bereits zwei Eigenwerte gefunden. Einer davon muss ein doppelter sein. Welcher das ist, kann z.B. per Polynomdivision ermittelt werden. \(p\) ist ohne Rest teilbar durch \(x-1\), sowie \(x-2\), also auch durch
\((x-1)\cdot(x-2)=x^2-3x+2=x^2+2x+2\).
Alternativ kannst du natürlich auch durch \(x-1=x+4\) und das Resultat durch \(x-2=x+3\) teilen.
Das Ergebnis ist \(x-1\). Damit ist der dritte (und letzte) Linearfaktor gefunden und es ist
\(p(x)=(x-1)^2\cdot(x-2)=(x+4)^2\cdot(x+3)\).

Bemerkung1: Ob du mit \(x-1\) oder \(x+4\), etc. rechnest, bleibt dir überlassen. In \(\mathbb F_5\) macht das keinen Unterschied.
Bemerkung 2: Der dritte Eigenwert lässt sich auch ohne Polynomdivision ermitteln. Die Summe aller Eigenwerte ist die Spur der Matrix. Damit kann man den dritten Eigenwert leicht berechnen, wenn zwei davon bereits bekannt sind.

Avatar von 3,5 k

Ich versteht nicht so ganz, wieso man x-2 nimmt. Also klar, ich setze 2 in das char. Polynom ein, bekomme 15 raus, 15 ist in F5 eine 0, aber ich kann doch auch -3 einsetze oder? Weil dann habe ich ja -15 und das ist auch 0 in F5.

Dann habe ich (x-(-3))=(x+3) und 3 ist in F5 ne 3, also (x+3) oder habe ich einen Denkfehler?

In \(\mathbb F_5\) ist \(2\) das gleiche wie \(-3\). Der Linearfaktor \(x-2\) ist der gleiche wie \(x+3\). Wenn \(2\) ein Eigenwert ist, dann ist auch \(-3\) ein Eigenwert. Dabei handelt es sich aber nicht um zwei verschiedene Eigenwerte, da sie identisch sind.

Achsoo okay, ich danke Ihnen!

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