Aloha :)
Willkommen in der Mathelounge... \o/
Bei solchen Aufgaben kann man manchmal direkt zu Anfang entscheidende Vereinfachungen vornehmen. Hier kannst du den Funktionsterm direkt faktorisieren:f(x)=x3−8x2+16x=x(x2−8x+16)=x(x−4)2
Damit erhältst du als erste Ableitung mit der Produktregelf′(x)=(x−4)2+2x(x−4)=(x−4)⋅((x−4)+2x)=(x−4)(3x−4)und kannst die Nullstellen der ersten Ableitung bequem ablesen:x1=4;x2=34
Die Art der Extrema kannst du mit der zweiten Ableitung prüfen, die wieder mit der Produktregel folgt:f′′(x)=(3x−4)+3(x−4)Wir setzen die Kandidaten von oben ein und bestimmen die Vorzeichen:f′′(34)=3(34−4)<0⟹Max;f′′(4)=3⋅4−4>0⟹Min