Hallo,
für einen euklidischen Vektorraum \(V\), d. i. ein Vektorraum, versehen mit einem Skalarprodukt, etwa \(\varphi\), ist \(O(V)\) die Menge aller Endomorphismen \(f: V\to V\), die orthogonal sind.
Ein Endomorphismus \(f\) heißt orthogonal, falls für alle \(u,v\in V\) gilt, dass \(\langle f(u),f(v)\rangle=\langle u,v\rangle \). D. h. \(f\) ist ein Endomorphismus in \(V\), der das Skalarprodukt erhält. Über das Skalarprodukt wird auch die Länge/Norm eines Vektors \(v\in V\) definiert und auch der Winkel hängt mit dem Skalarprodukt zusammen. Da das Skalarprodukt von \(f\) erhalten wird, sind orthogonale Abbildungen insbesondere längen- und winkeltreu, d. h. zwei Elemente haben vor Anwendung von \(f\) den gleichen Winkel, die gleiche Länge, wie vorher.
Die orthogonalen Abbildungen beschreiben also isometrische Kongruenzabbildungen, d. h. Drehungen, Spiegelungen und Drehspiegelungen. Die Menge der Drehmatrizen \(\operatorname{SO}(n)\) ist in der Physik sehr wichtig, so verwendet man z. B. \(\operatorname{SO}(3)\) für die Drehimpulsalgebra in der Quantenmechanik, für atomare und nukleare "Vielteilchenprobleme" oder \(\operatorname{SO}(4)\) für die Entartung im Wasserstoffspektrum.
