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Welches ist das kleinste Rechteck, das aus einer ungeraden Anzahl von Einheitsquadraten besteht und vollständig mit L-Dreilingen aus drei Einheitsquadraten

blob.png

parkettiert werden kann?

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Hallo Roland,

Das gesuchte Rechteck habe die Seitenlängen aa und bb. Da es aus einer ungeraden Anzahl von Einheitsquadraten bestehen soll, müssen aa und bb ebenfalls beide ungerade sein. Da mindestens ein L-Dreiling enthalten ist, müssen beide Seiten größer als 1 sein. Zusammen folgt darausa3b3a\ge 3 \land b \ge 3Wenn eine Seite die Länge 3 hat, so ist die einzig möglich Anordnung für die L-Drillingen an dieser Seite:

blob.png

Das bedeutet aber, dass rechts von dieser Anordnung ein weiteres kleineres Rechteck existiert, welches den Anforderungen genügt. Diese zwei L-Drillinge lassen sich also entfernen und wenn man sich dann die beiden nächsten L-Drillinge an der neu entstandenen Seite anschaut, lässt sich dies unendlich fortsetzen.

Daraus folgt: eine Seitenlänge von 3 ist nicht möglich!

Weiter muss mindestens eine Seitenlänge durch 3 teilbar sein, da die Gesamtfläche durch 3 teilbar ist. Somit ist die nächst kleinere Kombination5×95 \times 9und hier lässt sich ein Rechteck finden:

blob.png

Also ist ein Rechteck der Seitenlängen 5×95 \times 9 das kleinst mögliche.

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@Werner: Wie immer von dir: Eine ausgezeichnete Antwort.

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