Welches ist das kleinste Rechteck, das aus einer ungeraden Anzahl von Einheitsquadraten besteht und vollständig mit L-Dreilingen aus drei Einheitsquadraten
parkettiert werden kann?
Hallo Roland,
Das gesuchte Rechteck habe die Seitenlängen aaa und bbb. Da es aus einer ungeraden Anzahl von Einheitsquadraten bestehen soll, müssen aaa und bbb ebenfalls beide ungerade sein. Da mindestens ein L-Dreiling enthalten ist, müssen beide Seiten größer als 1 sein. Zusammen folgt darausa≥3∧b≥3a\ge 3 \land b \ge 3a≥3∧b≥3Wenn eine Seite die Länge 3 hat, so ist die einzig möglich Anordnung für die L-Drillingen an dieser Seite:
Das bedeutet aber, dass rechts von dieser Anordnung ein weiteres kleineres Rechteck existiert, welches den Anforderungen genügt. Diese zwei L-Drillinge lassen sich also entfernen und wenn man sich dann die beiden nächsten L-Drillinge an der neu entstandenen Seite anschaut, lässt sich dies unendlich fortsetzen.
Daraus folgt: eine Seitenlänge von 3 ist nicht möglich!
Weiter muss mindestens eine Seitenlänge durch 3 teilbar sein, da die Gesamtfläche durch 3 teilbar ist. Somit ist die nächst kleinere Kombination5×95 \times 95×9und hier lässt sich ein Rechteck finden:
Also ist ein Rechteck der Seitenlängen 5×95 \times 95×9 das kleinst mögliche.
@Werner: Wie immer von dir: Eine ausgezeichnete Antwort.
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