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Aufgabe: Hauptachsentransformation 6x2 +24xy - y2 -12x +26y +11 = 0

nach Berechnung der Rotationsmatrix

(S=\( \frac{1}{5} \) ·$$\begin{pmatrix} 4 & 3 \\ -3 & 4 \end{pmatrix}$$

und Quadratischen Ergänzung kommt man auf die Form:

= 15·(y1 +\( \frac{1}{5} \))2 -10·(y2 -\( \frac{7}{5} \))2 +30 =0 und diese wird umgeschrieben auf :

( \( \frac{y1 +\frac{1}{5}}{2} \))2 + ( \( \frac{y2 +\frac{1}{5}}{3} \))2 = 1

Problem/Ansatz: Die Umformungsschritte für die Normalform sind mir nicht klar

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Eine Zusammenfassung und eine App findest Du unter

https://www.geogebra.org/m/jybmgrce

gedreht

\(q_D: \, 15 \; x^{2} - 10 \; y^{2} + 6 \; x + 28 \; y = -11\)

Transformation durch quadratische Ergänzung

\(T \, :=  \, \left\{ x = x - \frac{1}{5}, y = y + \frac{7}{5}, 19 \right\} \)

auf

\(q_N: \, 15 \; x^{2} - 10 \; y^{2} = -30\)

Avatar von 21 k

Vielleicht hatte ich meine Frage falsch gestellt aber mir ist nicht klar wie ich auf die Nenner von y1 +1/5 und y2 + 7/5 komme

Ajee, mir fällt gerade auf, dass Deine Drehmatrix nicht passt:

Du hast S A S^-1 =D üblich ist S^-1 A S = D

Du müsstes also drehen mit: (x,y) S A S^-1 (x,y) + a S^-1 (x,y) = a_0

kommst Du überhaupt auf die gedrehte Form q_D (oben)?

hast Du dir den Link angesehen?

von q_D mit der quadratischen Ergänzung T zu q_N

! je nach Eigenvektoren können x,y,Vorzeichen getauscht sein!

z.B.

blob.png

Ich hab meine Eigenvektoren mit jeweils einmal 3 und 4 multipliziert, dass ich sie mit dem selben Faktor normieren konnte und ich komme schon auf die qD Form aber ja hab auch jetzt verstanden dass durch die quadratische Ergänzung nur noch das x da steht,

Danke

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