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Beispiel 5.
Sei X eine Menge und R die durch
ARB ⇔ (A = B) ∨ (A = X \ B)
definierte Relation auf P(X). Zeigen Sie, dass R eine Äquivalenzrelation ist.


Beispiel 6.
Sei R die durch
xRy ⇔ (x^2+2)*(y+1) = (y^2+2)*(x+1)

definierte Relation auf R.
(a) Zeigen Sie, dass R eine Äquivalenzrelation ist.
(b) Bestimmen Sie für jedes x ∈ R die Anzahl Elemente in der Äquivalenzklasse [x].

Danke im Voraus

von

2 Antworten

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Beispiel 6:

Die Äquivalenzeigenschaft hat bereits das Gleichheitszeichen und daher auch die Relation R, die ja mit Hilfe des Gleichheitszeichens zwischen zwei symmetrischen Termen definiert ist

von 105 k 🚀

Könntest du mir diese Argumentation bitte etwas näher erläutern ?

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Die Relationsgleichung lässt sich (wenn weder x+1 noch y+1 Null sind) umstellen zu

(x^2+2)/(x+1) = (y^2+2)/(y+1)

Wenn auch noch yRz gilt, kann diese Gleichung entsprechend als

(y^2+2)/(y+1)=(z^2+2)/(z+1) geschrieben werden.

Aus (x^2+2)/(x+1) = (y^2+2)/(y+1) und (y^2+2)/(y+1)=(z^2+2)/(z+1) folgt selbstverständlich

(x^2+2)/(x+1)=(z^2+2)/(z+1)


Der mögliche Fall x=-1 führt (x^2+2)*(y+1) = (y^2+2)*(x+1) sofort auf (x^2+2)*(y+1)=0 und damit auch auf y=-1, was zwangsläufig auch z=-1 induziert.

vor von 30 k

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