Hallo,
ja, bei 0 liegt eine hebbare Singularität, bei allen anderen kπ ein Pol erster Ordnung.
Wie das Residuum zu berechnen ist, sollte in der Vorlesung besprochen worden sein. Wahrscheinlich habt Ihr folgende Formel für einen Pol erster Ordnung besprochen:
Res(f,w)=z→wlim(z−w)f(z)
Hier also
Res(f,kπ)=z→kπlim(z−kπ)sin(z)z=kπz→kπlimsin(z)z−kπ=cos(kπ)kπ
Letzteres mit Hilfe von l'Hospital.
Gruß Mathhilf