Polstellen und Residuen finden

Question

Man soll die Polstellen und den Grad der Polstellen als auch die Residuen herausfinden.

f(z) = z/sin(z)

Ansatz:

Bei 0 ist eine hebbare Singularität. Die Polstellen bei π + k*π für alle k aus Z außer -1, da man da wieder bei 0 ist.

Die polstellen sind alle jeweils erste Grad, oder?

Aber wie findet man die Residuen?

Answer 1

Hallo,

ja, bei 0 liegt eine hebbare Singularität, bei allen anderen $k \pi$ ein Pol erster Ordnung.

Wie das Residuum zu berechnen ist, sollte in der Vorlesung besprochen worden sein. Wahrscheinlich habt Ihr folgende Formel für einen Pol erster Ordnung besprochen:

$$\text{Res}(f,w)= \lim_{z \to w}(z-w)f(z)$$

Hier also

$$\text{Res}(f,k \pi)= \lim_{z \to k \pi}(z-k \pi)\frac{z}{\sin(z)}=k \pi \lim_{z \to k \pi}\frac{z-k \pi}{\sin(z)}= \frac{k \pi}{\cos(k \pi)}$$

Letzteres mit Hilfe von l'Hospital.

Gruß Mathhilf

Comments

Wie haben sie das k*π herausgehoben?

Hat sich geklärt, danke