Integralrechnung / Berechnung von Rotationskörpern / Funktionen mit Wurzel

Question

Hallo Liebe Nutzer,

ich habe von meiner Mathe-Lehrerin 2 Aufgaben bekommen, die ich am Montag vorstellen muss. Habe jedoch keine richtige Ahnung wie ich dies zu bewerkstelligen habe. Wie ich eine Integralrechnung mache, habe ich verstanden und ich weiß wie man Extremstellen etc. berechnet. Jedoch habe ich noch nie eine Funktion mit Wurzel Gleichgesetz. Ich zeige euch am besten Mal die erste Aufgabe

Die Funktion f und g sind gegeben durch f(x)= 1/4x² und g(x)= 2 Wurzel x 1. Berechne den Flächeninhalt der von der Graphen von f und g eingeschlossenen Fläche 2. Berechne das Volumen des entstehenden Rotationskörpers bei der Rotation der Fläche aus Teilaufgabe 1) um die 1.Achse

Ich denke in Aufgabe 1 muss ich die Funktion gleichsetzen um die Nullstellen zu bestimmen und diese dann anschließend ins Integral eintragen. Habe jedoch keine Ahnung wie ich das machen muss. Habe schon mal im Internet rumgeschaut, jedoch auch nichts Brauchbares gefunden.

Dann habe ich noch eine weitere Aufgabe. Diese lautet: Leite die Formel V=1/3 pi h² (3r-h) für das Volumen eines Kugelabschnitts mit der Höhe h und dem Radius r her. Berechne dazu das entsprechende Rotationsvolumen zur Kreisfunktion x -> Wurzel aus r² - x²

Wir haben erst letzte Stunde angefangen, das Volumen eines Rotationskörpers zu berechnen.

Würde mich über Ratsame Tipps und eventuelle Vorrechnungen bedanken. Bitte keine provokanten Antworten etc.

Wünsche ihnen Allen vorab ein kommendes schönes Weihnachtsfest

Answer 1

Die Funktion f und g sind gegeben durch

f(x)= 1/4*x² und 
g(x)= 2*√x

1. Berechne den Flächeninhalt der von der Graphen von f und g eingeschlossenen Fläche

f(x) = g(x) 
1/4*x² = 2*√x | ()²
1/16*x⁴ = 4x | *16
x⁴ = 64x
x⁴ - 64x = 0
x(x³ - 64) = 0

x1 = 0

x³ - 64 = 0
x³ = 64 
x2 = 4

d(x) = 2*√x - 1/4*x² = 2*x^1/2 - 1/4*x²
D(x) = 4/3*x^3/2 - 1/12*x³
D(4) - D(0) = 16/3 - 0 = 16/3 FE

2. Berechne das Volumen des entstehenden Rotationskörpers bei der Rotation der Fläche aus Teilaufgabe 1) um die 1.Achse

Wir haben die Fläche 2*x^1/2 - 1/4*x² aus Teilaufgabe 1. Daraus bilden wir das Rotationsintegral

∫ von 0 bis 4 über pi * (2*x^1/2)² - pi * (1/4*x²)² dx
∫ von 0 bis 4 über 4·pi·x - pi·x⁴/16 dx
[2·pi·x² - pi·x⁵/80] von 0 bis 4
96/5·pi = 60.31857894 VE

 

Comments

Vielen Dank für die schnelle Antwort.

Ich hätt eine Frage an der Stelle:

f(x) = g(x)
1/4*x^2 = 2*√x | ()^2
1/16*x^4 = 4x | *16

Wir setzen f(x) und g(x) gleich und im Anschluss rechnen wir mal ^2? Was passiert mit der Wurzel?

Wäre sehr Nett wenn Sie mir den Schritt genauer erläutern könnten.

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Wenn ich eine Wurzel quadriere, fällt die Wurzel weg.

√x * √x = x

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Danke, dass hatte ich nicht mehr bedacht gehabt

 

x^3 = 64
x2 = 4

 

Wie haben wir an der Stelle das x^3 weg bekommen?

Vielleicht sind das Blödefragen deren Antwort man gleich erschließen kann aber mein Kopf ist voll mit Mathe. Ich bitte um verzeihung :)

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Ich ziehe die dritte Wurzel. Man kann auch überlegen welche Zahl dreimal mit sich selbst multipliziert 64 ergibt.

Da 4*4*4 = 64 ist die Lösung hier also x = 4.

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d(x) = 2*√x - 1/4*x² = 2*x^1/2 - 1/4*x²
D(x) = 4/3*x^3/2 - 1/12*x³
D(4) - D(0) = 16/3 - 0 = 16/3 FE

Wieso nehmen wir da 2x^1/2 ? Müssen wir danach die Ausgangsgfunktion also D(x) bilden?

 

Vielen Dank für ihr Hilfe

 

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Die Wurzel schreibe ich hier nur um, damit du die Stammfunktion D(x) besser erkennen und mit der Potenzregel herleiten kannst.

Ich weiß das √x als Potenz auch als x^1/2 geschrieben werden kann. Mit der Potenzregel ist dann die Stammfunktion davon 2/3*x^3/2.

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Ok

müssen wir immer die Stammfunktion bilden um den Flächeninhalt zubestimmen oder geht dieses auch auf einen anderen Weg?

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Wenn sich die Fläche auf anderem geometrischem Wege ermitteln lässt ist das auch erlaubt. Das betrifft vor allem die Fläche zwischen linearen Funktionen. Bei Kurven ist es üblich hier die Stammfunktion zu nehmen.

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Vielen Dank für deine schnelle Antworten

Ich schau mir das nachher nochmal genauer an und würde mich ggf. nochmal melden

weiterhin ein erholsammes Wochenende :)

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Hallo Lieber Mathecoach,

Bei der zweiten Aufgabe komm ich nicht ganz zurecht, welcher Rotationskörper bildet sich denn? Habe versucht f(x) und g(x) in den Funktionsplotter einzugeben, jedoch bekomm ich nur immer den Wert von f(x) raus. Was bekomm ich bei g(x) raus und wie würde das aussehen, wenn ich das Zeichnen müsste?

 

Könnten sie mir vielleicht auch bei meiner Zweiten Aufgabe Helfen, die lautete : Leite die Formel V=1/3 pi h² (3r-h) für das Volumen eines Kugelabschnitts mit der Höhe h und dem Radius r her. Berechne dazu das entsprechende Rotationsvolumen zur Kreisfunktion x -> Wurzel aus r² - x²

 

Vielen Dank

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Ich zeichne mal f(x) und g(x) und die Fläche dazwischen. Wenn diese Fläche jetzt um die x-Achse rotiert, dann entsteht der Rotationskörper. Da dieser allerdings Dreidimensional ist, lässt er sich mit Graphen schlecht zeichnen. Ich hoffe Du kannst es dir trotzdem vorstellen.

 

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Wir haben die Kreisfunktion

k(x) = √(r^2 - x^2)

und wollen diese in den Grenzen von r - h bis r als Rotationsintegral bilden.

π * ∫ von r-h bis r über √(r^2 - x^2)^2 dx

π * ∫ von r-h bis r über r^2 - x^2 dx

π * [r^2*x - 1/3*x^3] von r-h bis r

(π * [r^2*r - 1/3*r^3]) - (π * [r^2*(r-h) - 1/3*(r-h)^3])

2·r^3·π/3 - (h^3·π/3 - h^2·r·π + 2·r^3·π/3)

2·r^3·π/3 - h^3·π/3 + h^2·r·π - 2·r^3·π/3

h^2·r·π - h^3·π/3

h^2·π·(3·r - h)/3

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Anhand der Grafik wurde es mir deutlich..Danke

Zu Aufgabe 1b. habe ich pi * Integral aus 4 und 0 * (1/4x^2)^2dx gerechnet und erhalte 40,21 VE

Ist dieses soweit richtig oder muss ich wieder die Stammfunktionen bilden?

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Könnten sie mir eventuell zu der zweiten Aufgabe eine erläuterung zu den Schritten geben? Weiß nicht genau was gemacht wird.. Entschuldigung wenn ich ihre Nervenstrapaziere xD

Aber schonmal Vielen Vielen Dank für ihre Mühe

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Oh ich sehe gerade das ich mich bei Teilaufgabe 2 auch verrechnet habe

Du hast ja die Fläche 2*x^1/2 - 1/4*x² aus Teilaufgabe 1.

Daraus bilden wir das Rotationsintegral

∫ von 0 bis 4 über pi * (2*x^1/2)² - pi * (1/4*x²)² dx

∫ von 0 bis 4 über 4·pi·x - pi·x⁴/16 dx

[2·pi·x² - pi·x⁵/80] von 0 bis 4

96/5·pi = 60.31857894 VE

So sollte das aber stimmen.

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ok, garkein Problem

wieso wir 2*x^{1/2} haben habe ich jedoch noch nicht ganz verstanden...könnten sie mir das mäher erklären?

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Lautete nicht eine deiner Funktionen 2*√x ?

Das kann ich mir ja nach den Potenzgesetzen umschreiben zu 2*x^1/2.

Das hatte ich aber doch etwas weiter oben schon erklärt gehabt.

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jopp ok, hab ich ganz übersehen gehabt

könnten sie eventuell zu der 2.Aufgabe eine erläuterung schreiben

die Rechenwege sind mir so nicht deutlich..Entschuldigung für die Erklärungsnot

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Durch die Rotation der Fläche ergibt sich ein Kreisring

Die Fläche eines Kreisringes ist pi*(R^2 - r^2) wobei R der äußere und r der innere Radius ist.

Ich ersetze dann nur noch R und r durch die gegebenen Funktionen und Integriere in den Grenzen von 0 bis 4. Dazu bilde ich die Stammfunktion und setzte einmal 4 und einmal 0 ein und bilde die Differenz.

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Eine schnelle Frage noch zu Aufgabe 1b

∫ von 0 bis 4 über pi * (2*x^{1/2})^2 - pi * (1/4*x^2)^2 dx
∫ von 0 bis 4 über 4·pi·x - pi·x^4/16 dx
[2·pi·x^2 - pi·x^5/80] von 0 bis 4
96/5·pi = 60.31857894 VE

Ich hatte bisher nur die Formel im Unterricht V: Pi . Integral ((f(x))² dx

Wie wird bei der oberen Rechnung vorgegangen?

Vielen Dank

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Du könntest es auch aufteilen in zwei Integrale

∫ von 0 bis 4 über pi * (2*x^1/2)² - pi * (1/4*x²)² dx

∫ von 0 bis 4 über pi * (2*x^1/2)² dx - ∫ von 0 bis 4 über pi * (1/4*x²)² dx

Man darf es allerdings auch als gemeinsames Integral schreiben.

Wir haben ja ein äußeres Rotationsintegral von dem wir ein inneres Rotationsintegral abziehen.

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Komplette Aufgabe 1 hab ich soweit verstanden, dafür vielen Dank

Versteh die Herleitung bei Aufgabe 2 jedoch nicht ganz

Über eine Erklärung würde ich mich freuen :)

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Was verstehst Du den genau nicht? Inzwischen habe ich doch schon deine Fragen dazu beantwortet.

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Ok hab sie jetzt doch verstanden, musste ich selber 2-3mal rechnen

Ich bedanke mich vielmals für ihre Hilfe

Wünsche ihnen ein Frohes Fest und schöne Feiertage