Aufgabe:
Zeige, dass f(x) = \( \frac{cos(x)}{x} \) im Bereich [1,∞[ Integrierbar ist.
Problem/Ansatz:
Klar ist, dass man mit der partiellen Integration einmal ableiten muss. Danach ist mir auch inzwischen bewusst, dass man das Integral abschätzen muss. Leider ist mir aber nicht klar, was in den 2 letzten Schritten gemacht wird.
Wieso ist die Abschätzung von sin(x) = 2 und woher kommt das Minus im letzten Schritt?
\( \int \limits_{1}^{\infty} \cos (x) \cdot \frac{1}{x} d x=\lim \limits_{a \rightarrow \infty}\left[\frac{\sin (x)}{x}\right]_{1}^{a}+\int \limits_{1}^{\infty} \frac{\sin (x)}{x^{2}} d x<\infty \)
weil \( \int \limits_{1}^{\infty} \frac{\sin (x)}{x^{2}} d x<\int \limits_{1}^{\infty} \frac{2}{x^{2}} d x=\lim \limits_{a \rightarrow \infty}\left[-\frac{2}{x}\right]_{1}^{a}=2 \)
