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Aufgabe:

Den Grenzwert von dieser konvergenten Reihe bestimmen:


Problem/Ansatz:

\\∑ (von n=0 bis unendlich) (-2)n * (7n+n!)/(7n*n!)


Nach Kürzen und Umformen komme ich auf:

∑ (von n=0 bis unendlich) ((-2)n / n!) + (-2 / 7)n

Heißt das jetzt, dass ich zwei verschiedene Reihen habe und somit zwei Grenzwerte? Wenn ja, dann wäre die erste Klammer eine geometrische Reihe und die zweite eine Exponentialreihe und das kann ich lösen, aber ich bin mir nicht sicher ob das so möglich ist.

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Aloha :)

Wir sind optimistisch und gehen davon aus, dass der Grenzwert existiert, schließlich sollen wir ihn ja bestimmen. Dann können wir die unendliche Summe in zwei konvergente unendliche Summen aufteilen:

=n=0(2)n(7n+n!)7nn!=n=0(2)n7n+(2)nn!7nn!=n=0(2)n7n7nn!+n=0(2)nn!7nn!\phantom{=}\sum\limits_{n=0}^\infty\frac{(-2)^n\cdot(7^n+n!)}{7^n\cdot n!}=\sum\limits_{n=0}^\infty\frac{(-2)^n\cdot7^n+(-2)^nn!}{7^n\cdot n!}=\sum\limits_{n=0}^\infty\frac{(-2)^n\cdot7^n}{7^n\cdot n!}+\sum\limits_{n=0}^\infty\frac{(-2)^nn!}{7^n\cdot n!}=n=0(2)nn!+n=0(27)n=\sum\limits_{n=0}^\infty\frac{(-2)^n}{n!}+\sum\limits_{n=0}^\infty\left(-\frac27\right)^nDie erste Summe ist die Potenzreihte der ee-Funktion. die zweite Summe ist eine geometrische Reihe:=e2+11+27=79+1e20,9131=e^{-2}+\frac{1}{1+\frac{2}{7}}=\frac79+\frac1{e^2}\approx0,9131

Deine Vorgehensweise war also richtig. Du musst allerdings sicherstellen, dass die Summe, die du aufspalten möchtest, konvergiert. Aber das sichert uns ja die Aufgabenstellung zu.

Avatar von 153 k 🚀

Im Nenner steht 7n*n!, nicht 7n*n!

Vielen Dank!

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