Rechnen mit Summenzeichen | Teilmenge aus N

Question

Rechnen mit Summenzeichen:

n ∈ ℕ

k = 1 , ende n

∑ (1/k - 1/k+1)

wie genau funktioniert das rechnen wenn die Obere grenze nicht genau gegeben ist sondern nur Teilmenge eines Zahlenbereichs ist?

Ergänzung:

Das Plus 1 ist noch unten im nenner drin also -1/(k+1) sry hätte das besser schreiben sollen

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Vom Duplikat:

Titel: Summenformel berechnen für: n ∈ ℕ

Stichworte: summenformel,summenzeichen,natürliche-zahlen,induktion

Aufgabe:

Sei n ∈ ℕ. Berechnen Sie

(i)  Σ n= n k=1 (1/k - 1/k+1)

Problem/Ansatz:

Ich brauche keine Berechnung oder Lösung.

Ich frage nicht nur, ob ich für eine beliebige Zahl ∈ ℕ für n einsetzen muss, oder ob das ganz allgemeingültig für alle ℕ berechnet werden muss.

Vielen Dank im Voraus

Philip

Answer 1

∑ (1/k - 1/k+1) = ?

das ist doch ganz einfach: da $\frac 1k - \frac 1k=0$ ist, ist$$\sum\limits_{k=1}^{n} \frac 1k - \frac 1k +1= \sum\limits_{k=1}^{n}1 = \underbrace{1 + 1 + \dots + 1}_{n \space \text{mal}} = n$$aber das meinst Du gar nicht - oder?

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Das Plus 1 ist noch unten im nenner drin also -1/(k+1) sry hätte das besser schreiben sollen

Answer 2

$\sum\limits_{n=1}^{n}{\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}}$=$\frac{n}{n+1}$

Answer 3

Hallo Torsten,

$$\sum\limits_{k=1}^{n} \frac 1k - \frac 1{k+1} = \,?$$wenn Dich bei solchen Aufgaben das $n$ als Variable verwirrt, so setzte doch einfach mal eine kleine Zahl für das $n$ ein und schau was da heraus kommt. Zum Beispiel $n=3$ gibt$$\sum\limits_{k=1}^{3} \frac 1k - \frac 1{k+1} = \frac 11\space\underbrace{ - \frac 12 + \frac 12}_{=0} \space\underbrace{ -\frac 13 + \frac 13}_{=0} - \frac 14 = \frac 11 -\frac 14= \frac 34$$Fällt Dir was auf. Probiere das nochmal mit $n=5$.

Das Ding, nennt man eine Teleskopsumme. Teleskop deshalb, weil die sich wie ein Teleskop zusammen schieben lässt und nur vom ersten und letzten Element etwas übrig bleibt. Es ist $$\begin{aligned}\sum\limits_{k=1}^{n} \frac 1k - \frac 1{k+1} &= \overbrace{\frac 11- \frac 12}^{k=1} + \overbrace{\frac 12 - \frac 13}^{k=2} + \dots + \overbrace{\frac 1{n-1} - \frac 1n}^{k=n-1} + \overbrace{\frac 1n - \frac 1{n+1}}^{k=n} \\&= \frac 11 - \frac 1{n+1}\\&= \frac{n}{n+1}\end{aligned}$$Falls etwas unklar ist, so frage bitte nach.

Gruß Werner

Comments

Hallo Werner ich hätte noch eine Frage.

Wieso wird denn aus der $\frac{1}{k+1}$ = $\frac{1}{n+1}$ ? Das verstehe ich irgendwie nicht

Gruß Asiminho

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Wieso wird denn aus der $\frac{1}{k+1}$ = $\frac{1}{n+1}$ ?

Es wird nicht(!) aus $\frac{1}{k+1}$  $\frac{1}{n+1}$, sondern aus$\sum_k^n \left(\frac 1k-\frac1{k+1}\right)$ wird $\frac 11 - \frac 1{n+1}$. Ich habe meine Antwort nochmal überarbeitet, damit das klarer wird.

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Vielen Dank ich habe es jetzt verstanden

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Text erkannt:

$=\frac{1}{1}-\frac{1}{n+1}$
$=\frac{n}{n+1}$

warum wird Das minus dann zu einem plus? also das vorzeichen vom bruch

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warum wird Das minus dann zu einem plus?

wird es nicht, es entfällt: $\dots +1 -1 = \dots 0$

Bruchrechnen leicht gemacht führt bei der Addition über den Hauptnenner. Hier ist der Hauptnenner $1\cdot(n+1)=n+1$. Folglich erweitert man den ersten Bruch mit eben diesem Hauptnenner und erhält:$$\phantom{=}\frac{1}{1} - \frac1{n+1} \\=\frac{1 \cdot(n+1)}{1\cdot (n+1)} - \frac1{n+1}\\=\frac{n+1}{n+1} - \frac1{n+1}\\ =\frac{n\,{\color{red}+1-1}}{n+1}\\=\frac n{n+1}$$

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Ahh ich verstehe, das hab ich ganz vergessen, danke!

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sagen wir wir haben als k = 2 und ende ist n+2

∑ 2^k-2 

^{Dann hätte man ja sogesagt die  2 hoch 0 bis 2 hoch n +2 oder wie?}

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sagen wir wir haben als k = 2 und ende ist n+2

dann ist die Folge von $k$:$$k:=\quad 2,\,3,\,4,\,\dots n-1,\,n,\, n+1,\, n+2$$

Dann hätte man ja sogesagt die 2 hoch 0 bis 2 hoch n+2 oder wie?

Nicht ganz. Für die Summe $\sum 2^{k-2}$ bedeutet das:$$\begin{aligned}\sum\limits_{k=2}^{n+2} 2^{k-2} &= 2^{2-2} + 2^{3-2}+\dots 2^{n+1-2} + 2^{n+2-2}\\&= 2^0 + 2^1 + \dots + 2^{n-1} +2^n \\&= \sum\limits_{j=0}^{n}2^j\end{aligned}$$Es sind nur $n+1$ Summanden; nicht mehr. Von $0$ bis $n$ oder eben von $2$ bis $n+2$.

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Ah ich verstehe, interessant, danke nochmals!

Answer 4

wird wohl allgemein für jedes n gemeint sein.

(sog. Teleskopsumme)

$$\sum \limits_{k=1}^{n}(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1})$$

Mache 2 Summen daraus

$$\sum \limits_{k=1}^{n}\frac{1}{k} - \sum \limits_{k=1}^{n}\frac{1}{k+1}$$

Die erste beginnt mit 1 und endet mit 1/k

und die zweite beginnt mit 1/2 und endet mit 1/(k+1) .

Also hebt sich fast alles gegenseitig auf und es bleibt

 1 - 1/(n+1) .

Comments

Und wie geht das dann ungefähr ?

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Hab was ergänzt.

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Alter Schwede ihr seid echt Maschinen ahahha

Danke