Zeigen Sie, xn \in[-1,1] für alle n ∈ ℕ .

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Aufgabe

Aufgabe 15 :  15:
Eine Folge (xn)n \left(x_{n}\right)_{n} in R \mathbb{R} sei rekursiv definiert durch einen Startwert x0∈[−1,1] x_{0} \in[-1,1] und die Rekursionsvorschrift
xn=xn−13+xn−12−1,n∈N x_{n}=x_{n-1}^{3}+x_{n-1}^{2}-1, \quad n \in \mathbb{N}
(a) Zeigen Sie, xn∈[−1,1] x_{n} \in[-1,1] für alle n∈N n \in \mathbb{N} .
(b) Zeigen Sie, dass die Folge (xn)n \left(x_{n}\right)_{n} monoton fallt.
(c) Für welche Startwerte x0∈[−1,1] x_{0} \in[-1,1] konvergiert die Folge? Berechnen Sie jeweils den Grenzwert.


Problem/Ansatz

Ich brauche dringend eine Lösung bitte 2DB46BC6-2311-40F2-8536-C7F2ABB1B11F.jpeg

Text erkannt:

Aufgabe 15 :  15:
Eine Folge (xn)n \left(x_{n}\right)_{n} in R \mathbb{R} sei rekursiv definiert durch einen Startwert x0∈[−1,1] x_{0} \in[-1,1] und die Rekursionsvorschrift
xn=xn−13+xn−12−1,n∈N x_{n}=x_{n-1}^{3}+x_{n-1}^{2}-1, \quad n \in \mathbb{N}
(a) Zeigen Sie, xn∈[−1,1] x_{n} \in[-1,1] für alle n∈N n \in \mathbb{N} .
(b) Zeigen Sie, dass die Folge (xn)n \left(x_{n}\right)_{n} monoton fallt.
(c) Für welche Startwerte x0∈[−1,1] x_{0} \in[-1,1] konvergiert die Folge? Berechnen Sie jeweils den Grenzwert.

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Aufgabe 15 :  15:
Eine Folge (xn)n \left(x_{n}\right)_{n} in R \mathbb{R} sei rekursiv definiert durch einen Startwert x0∈[−1,1] x_{0} \in[-1,1] und die Rekursionsvorschrift
xn=xn−13+xn−12−1,n∈N x_{n}=x_{n-1}^{3}+x_{n-1}^{2}-1, \quad n \in \mathbb{N}
(a) Zeigen Sie, xn∈[−1,1] x_{n} \in[-1,1] für alle n∈N n \in \mathbb{N} .
(b) Zeigen Sie, dass die Folge (xn)n \left(x_{n}\right)_{n} monoton fallt.
(c) Für welche Startwerte x0∈[−1,1] x_{0} \in[-1,1] konvergiert die Folge? Berechnen Sie jeweils den Grenzwert.

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📘 Siehe "Konvergenz" im Wiki

1 Antwort

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Aloha :)

Folgende Situation finden wir vor:xn=xn−13+xn−12−1;n∈N;−1≤x0≤1x_n=x_{n-1}^3+x_{n-1}^2-1\quad;\quad n\in\mathbb N\quad;\quad-1\le x_0\le1

zu a) Beschränktheit:

Wir zeigen, dass −1≤xn≤1-1\le x_n\le1 durch vollständige Induktion über n∈N0n\in\mathbb N_0

Verankerung bei n=0n=0: Klar, da für den Startwert x0∈[−1∣1]x_0\in[-1|1] gilt

Induktionsschritt von (n−1)(n-1) auf nn:−1≤xn−1≤1  ⟹  0≤xn−12≤1-1\le x_{n-1}\le1\quad\implies\quad 0\le x_{n-1}^2\le1−1≤xn−1≤1  ⟹  0≤xn−1+1≤2-1\le x_{n-1}\le1\quad\implies\quad 0\le x_{n-1}+1\le2Daher gilt für das Produkt beider Terme:0≤xn−12⋅(xn−1+1)≤2  ⟹  −1≤xn−12⋅(xn−1+1)−1≤1  ⟹  −1≤xn≤10\le x_{n-1}^2\cdot(x_{n-1}+1)\le2\implies-1\le x_{n-1}^2\cdot(x_{n-1}+1)-1\le1\implies -1\le x_n\le1

zu b) Monotonie:xn−xn−1=(xn−13+xn−12−1)−xn−1=(xn−1−1)⏟≤0⋅(xn−1+1)2⏟≥0≤0x_n-x_{n-1}=(x_{n-1}^3+x_{n-1}^2-1)-x_{n-1}=\underbrace{(x_{n-1}-1)}_{\le0}\cdot\underbrace{(x_{n-1}+1)^2}_{\ge0}\le0Die Folge (xn)(x_n) fällt monoton.

zu c) Konvergenz

Jede beschränkte und montone Folge konvergiert. Daher konvergiert xnx_n gegen einen Grenzwert xx, den wir wie folgt bestimmen können:xn=xn=xn−13+xn−12−1∣x≔lim⁡n→∞(⋯ )\left.x_n=x_n=x_{n-1}^3+x_{n-1}^2-1\quad\right|x\coloneqq\lim\limits_{n\to\infty}(\cdots) x=x3+x2−1∣−x\left.x=x^3+x^2-1\quad\right|-x x3+x2−x−1=0∣faktorisieren, s.o\left.x^3+x^2-x-1=0\quad\right|\text{faktorisieren, s.o} (x−1)(x+1)2=0∣Satz vom Nullprodukt\left.(x-1)(x+1)^2=0\quad\right|\text{Satz vom Nullprodukt}x=1  ∨x=−1x=1\;\lor x=-1Für x0=1x_0=1 sind alle xn=1x_n=1, die Folge ist in diesem Fall konstant und "konvergiert" daher gegen x=1x=1.

Für x0<1x_0<1 ist der Grenzwert x=−1x=-1, weil die Folge (xn)(x_n) monoton fällt.

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