Grenzwert einer Folge mit e-Funktion

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie die nachstehenden Grenzwerte:

a) 

$\lim\limits_{n\to\infty}$ (1 + $\frac{1}{3n-2}$ )ⁿ

^b) 

$\lim\limits_{n\to\infty}$ (1 + $\frac{\sqrt{n}}{(n+1)(n+2)}$ )ⁿ

Problem/Ansatz:

Mir ist bewusst, dass

$\lim\limits_{n\to\infty}$ (1 + $\frac{1}{n}$ ) ⁿ = e^x

Aber wie verbinde ich mein Wissen und die Aufgabe, wie muss nun der korrekte Rechenweg aussehen? Stehe irgendwie auf dem Schlauch.

Danke für Hilfe im Voraus!

Answer 1

Betrachten wir mal
$\lim \limits_{n \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{3 n-2}\right)^{n}$
Du kannst einfach eine Substitution machen, nämlich $m=3 n-2 \Longleftrightarrow n=\frac{m+2}{3}$, wobei sich der Limes nicht verändert.
$\lim \limits_{m \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{m}\right)^{\frac{m+2}{3}}=\lim \limits_{m \rightarrow \infty}\left(\left(1+\frac{1}{m}\right)^{m} \cdot\left(1+\frac{1}{m}\right)^{2}\right)^{\frac{1}{3}}$
Nun kannst du Limesregeln anwenden und den Fakt nutzen, dass $x^{\frac{1}{3}}$ stetig ist, du also den Limes reinziehen darfst.

Du erhältst also $e^{\frac{1}{3}}$ als Grenzwert.

Comments

Toll! Jetzt hat es Klick gemacht. Werde die anderen Aufgaben nun auch bearbeiten können. Vielen Dank für die Hilfe! :)

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Du schreibst, dass ich der Limes nicht verändert. Bei dir läuft er jetzt aber von m → ∞, statt von n. Ist das so erlaubt, darf man das einfach ändern? Und ist das dann immer noch eine korrekte Berechnung des $\lim\limits_{n\to\infty}$ ? Ich hoffe du weißt was ich meine.

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Ja, denn wenn $n$ gegen unendlich strebt, so auch $2n-3$. Der Satz der Limessubstitution ist nicht schwierig zu beweisen.

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Alles klar. Stimmt, wir haben m ja 2n - 3 gesetzt. Dankeschön!