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Wenigstens die Hälfte der Triebwerke muss funktionieren, damit ein Flugzeug noch
fiegen kann. Jedes
der Triebwerke fällt unabhängig von den anderen mit der Wahrscheinlichkeit p Element (0; 1) aus. Für welche
Werte von p sollte man besser ein Flugzeug mit zwei als eines mit vier Triebwerken einsetzen?
von

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X sei die Anzahl der ausgefallenen Motoren

p die Wahrscheinlichkeit, dass ein Motor ausfällt.

 

2-Motoriges Flugzeug:

P(X=2) = p*p

4-Motoriges Flugzeug:

P(X=3) = 4*(p*p*p*(1-p)             

(4mal das eigenständige Ereignis, dass ein Motor läuft und alle anderen nicht)

P(X=4) = p*p*p*p

 

Damit es besser ist, in einem zweimotorigen Flugzeug zu sitzen, muss gelten:

P(X=2) < P(X=3) + P(X=4)

p^2 < 4*(p^3 * (1-p)) + p^4

p^2 < 4*p^3 - 4*p^4 + p^4

p^2 < 4*p^3 - 3*p^4

1 < 4p - 3 p^2

0 < 4p - 3 p^2 -1

0 > p^2 - 4/3*p + 1/3

0 = p^2 - 4/3*p + 1/3

p12 = 2/3 ± √ (4/9 - 3/9) = 2/3 ± √ (1/9) = 2/3 ± 1/3

p1 = 1/3          p2 = 1

Das sind die beiden Nullstellen der Parabel p^2 - 4/3*p + 1/3. Da diese nach oben geöffnet ist, muss der Bereich zwischen den beiden Nullstellen kleiner als 0 sein.

Also gilt:

0 > p^2 - 4/3*p + 1/3 für 1/3<p<1

und damit gilt:

P(X=2) < P(X=3) + P(X=4) für 1/3<p<1

Das bedeutet, wenn die Ausfallwahrscheinlichkeit eines einzelnen Motors größer als 1/3 ist, dann ist es besser in einer 2-motorigen Maschine zu sitzen als in einer 4-motorigen.

Zur Anschauung:

https://www.wolframalpha.com/input/?i=p^2+%3C+4*%28p^3+*+%281-p%29%29+%2B+p^4+from+p%3D0+to+1

von 3,2 k

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