Wie berechne ich den Erwartungswert mit Urne ohne Zurücklegen

Question

Aufgabe:

Erwartungswert berechnen

Es gibt in der Urne 20 weiße Kugel und 5 Rote. Man darf einmal ziehen und zahlt hierfür 20€. Bei einem roten Treffer beträgt der Gewinn 300€.

a) Erwartungswert berechnen bei einmal ziehen

b) danach kommen 2 andere Spieler und ziehen ebenso die kugel wobei dann der gewinn um die hälfte bzw drittel verringert wird. Auch da erwartungswert berechnen.
Problem/Ansatz:

a) weiß = 20/25

rot = 5/25

Erwartungswert: -20 * 4/5 + 280 * 1/5 = 40

b) gleiche Rechnung wie oben nur habe ich dazu noch die -140  mit 4/24 und  -70 mit 3/23  hinzugefügt.

Ergebnis wäre : ca 7,53

Ist das soweit richtig gerechnet?

Comments

b) Es kommt darauf, welche Kugel beim 1. Zug gezogen wurde.

Falls es eine rote war, sind noch 4 rote und 20 weiße in der Urne, andernfalls 5 rote und 19 weiße.

4/24*130- 20/24*20 = 5

bzw.

5/24*130 -19/24*20 = 11,25

Die WKT für jede der beiden Möglichkeiten ist 1/2.

Gesamterwartungswert: 1/2*5 +1/2*11,25 = 8,13

Analog kommt es beim 3. Zug darauf an, was vorher gezogen wurde.

Es sind entweder noch 5 rote, oder 4 rote oder 3 rote in der Urne.

Die WKT ist jeweils 1/3 pro Möglichkeit.

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Die WKT ist jeweils 1/3 pro Möglichkeit.

Das ist sie natürlich nicht.

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Die Fragen sind für mich nicht ganz klar gestellt
Eine Gewinnberechnung wird nicht gefordert
sondern nur die Berechnung des Erwartungs-
wertes.

a.) 4/5 für weiß

b.) In der Überschrift steht " ohne Zurücklegen "
Wenn von den Spielern nicht zurückgelegt
wird bleibt es bei dem Erwartungswert für a.)

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b.) mit zurücklegen ?

Im Titel steht "ohne Zurücklegen".
Das gilt dann m.E. für die gesamte Aufgabe.
Da ein Gewinnbetrag genannt ist, ist wohl der EW des Gewinns gemeint.
Sonst macht die Angabe keinen Sinn.

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Vielen Dank das so viele geantwortet haben.

Es geht darum das bei Aufgabenteil a der Erwartungswert berechnen soll. Dabei ist X der gewinn btw Verlust.

bei aufgabenteil b ist die situation so das nach mir noch zwei weitere Spieler ziehen wobei ich die gezogene kugel nicht zurückgelegt habe. Falls ich eine rote Kugel ziehe bekomme ich 280 und wenn der zweite SPieler eine Rote Kugel zieht bekomme ich ja nur noch 140 und wenn der dritte Spieler auch eine rote Kugel zieht bekomme ich nur 70.

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bei b soll durch die neue Situation nochmal der Erwartungswert berechnet werden.

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Wie berechne ich den Erwartungswert mit Urne

Ich kenne ja Leute, die rechnen mit Stäbchen, Zahnrädchen, dem Kopf (optional unter Zuhilfenahme der Finger), oder mit virtuellen Maschinen. Aber dass man auch mit Urne rechnen kann, war mir neu. Das sind trostreiche Aussichten für mein weiteres Schicksal.

Answer 1

a) Erwartungswert berechnen bei einmal ziehen

Wovon?

• Von der Anzahl der gezogenen roten Kugeln: \(\frac{5}{25}\cdot 1 + \frac{20}{25}\cdot 0\)
• Von der Anzahl der gezogenen schwarzen Kugeln: \(\frac{5}{25}\cdot 0 + \frac{20}{25}\cdot 1\)
• Von dem Gewinn: \(\frac{5}{25}\cdot 300 + \frac{20}{25}\cdot 0\)
• Von der Einzahlung: \(\frac{5}{25}\cdot 20 + \frac{20}{25}\cdot 20\)
• Von der Differenz aus Gewinn und Einzahlung: \(\frac{5}{25}\cdot (300-20) + \frac{20}{25}\cdot (0-20)\)
• Von der Farbe der gezogenen Kugel: das ergibt keinen Sinn, weil die Farbe keine Zahl ist.
  

b) danach kommen 2 andere Spieler

Hier gibt es noch wesentlich mehr Zufallsgrößen, deren Erwartungswerte berechnet werden können. Zum Beispiel den Erwartungswert der Differenz aus Summe der Gewinne und Summe der Einzahlung der drei Spieler, wenn die gezogenen Kugeln nach den einzelnen Ziehung nicht zurückgelegt werden:

Sei \(X\) die Anzahl der roten Kugeln, die in den drei Ziehungen gezogen werden. Dann ist

        \(\begin{aligned} P(X=0) & =\frac{20}{25}\cdot\frac{19}{24}\cdot\frac{18}{23}\\ P(X=1) & =3\cdot\frac{5}{25}\cdot\frac{20}{24}\cdot\frac{19}{23}\\ P(X=2) & =3\cdot\frac{5}{25}\cdot\frac{4}{24}\cdot\frac{20}{23}\\ P(X=3) & =\frac{5}{25}\cdot\frac{4}{24}\cdot\frac{3}{23} \end{aligned}\)

wie man mit einem dreistufigem Baumdiagramm feststellen kann.

Der Erwarungswert ist dann wie üblich

        \(E(X)=(0-60)\cdot P(X=0)+(300-60)\cdot P(X=1)+(600-60)\cdot P(X=2)+(900-60)\cdot P(X=3)\).

Comments

Ich sehe den Sachverhalt anders:

Erst zieht A, dann B, dann C.

Gesucht sind die Erwartungswerte für jeden Einzelnen, wobei sich

die Anzahl der Kugel jeweils verringert.

Auch da erwartungswert berechnen.

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wobei sich die Anzahl der Kugeln jeweils
verringert

im Titel steht "ohne Zurücklegen".

2 Aussagen von dir
Was soll denn nun angenommen werden ?

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Erst zieht A aus 25 Kugeln, dann B aus 24, dann C aus 23.

Es kommt dabei darauf, was der Vorgänger jeweils gezogen hat.

Siehe meine 1. Antwort.

Gesuchtist mMn der EW des Gewinns für jeden Einzelnen, der je nachdem

anders ausfällt.

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Ich muß mich zurücknehmen.
Es steht " ohne Zurücklegen " in der
Überschrift.

Da sich der Erwartungswert dann doch
ändert macht auch die Berechnung
ohne Geld Sinn.

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Jeder will doch sicher wissen, wieviel er konkret als Gewinn zu erwarten hat

nach Abzug der Kosten.

Answer 2

a.)
Erwartungswert Geld

Verlust - 20 * 4/5  = 16 €
Gewinn + 300 * 1/5 = 60 €

60 - 16 = 44 €

Auf Dauer wird Spieler 1 : 44 € gewinnen

b.)
Spieler 2
Verlust - 20 * 4/5  = 16 €
Gewinn + 150 * 1/5 =

Spieler 3
Verlust - 20 * 4/5  = 16 €
Gewinn + 200 * 1/5 =

Comments

Erwartungswert rot
( ohne Geld )
1.Spieler 0.2
2.Spieler 0.2
3.Spieler 0.2

Mehrmals überprüft.

Answer 3

Ich interpretiere mal deine Fragestellung und ergänze in Klammern, was da stehen könnte. Bitte das nächste Mal die vollständige Fragestellung angeben.

Erwartungswert berechnen

Es gibt in der Urne 20 weiße Kugel und 5 Rote. Man darf einmal ziehen und zahlt hierfür 20€. Bei einem roten Treffer beträgt der Gewinn 300€. (Sonst erhält man als Trostpreis 1€)

(Muss man blind ziehen?)

a) Erwartungswert (für den Gewinn des ersten Spielers) berechnen bei einmal ziehen

b) danach kommen 2 andere Spieler und ziehen ebenso die Kugel wobei dann der Gewinn um die Hälfte (also auf 150€) bzw Drittel (Also 200€) verringert wird. Auch da Erwartungswert (Immer noch vom Gewinn?) berechnen.

Problem/Ansatz:a) weiß = 20/25

rot = 5/25

Erwartungswert für Gewinn: (-19) * 4/5 + 280 * 1/5 = ___ Einheit Euro.

b) gleiche Rechnung wie oben nur habe ich dazu noch die -140 mit 4/24 und -70 mit 3/23 hinzugefügt.

(Du musst zuerst wissen, ob der erste Spieler gewonnen hat und was? Du rechnest "ohne Zurücklegen". )

( Ergebnis wäre : ca 7,53

Für welchen Spieler und in welchem Zusammenhang? )

Wann endet das Spiel?

Answer 4

Es gibt in der Urne 20 weiße Kugel und 5 Rote. Man darf einmal ziehen und zahlt hierfür 20€. Bei einem roten Treffer beträgt der Gewinn 300€.

Die Gewinnerwartung für Spieler A wäre dann: $$-20\cdot\dfrac{20}{25}+300\cdot\dfrac{5}{25}=44 \:€$$

Comments

300 ist der Bruttogewinn.

Gewöhnlich versteht man unter Gewinn den Nettogewinn. Das wären hier 280.

Gewinn = Ertrag minus Aufwand