wobei ich mir nicht sicher bin, ob Re(cn) und Im(cn) überhaupt Teilfolgen von cn sind.
Sind sie nicht, denn deren Folgenglieder sind keine von (cn)n∈ℕ .
Wohl eher so: Seien cn=an+i∗bn und c= a+bi und (cn)n∈N konvergiertgegenc.
==> Zu jedem ε>0 gibt es ein N, so dass gilt n>N ==> |cn - c| < ε #
Um zu zeigen , dass die Folgen der Real- und Imaginärteile einzeln konvergieren
und es gilt n→∞limcn=n→∞lim(ℜ(c)n)+i⋅n→∞lim(ℑ(cn)) kann man doch so beginnen:
Sei ε>0. Zu zeigen: Es gibt N1, N2 mit
n>N1 ==> |an - a| < ε und n>N2 ==> |bn - b| < ε.
Wegen # gibt es für ε ein N, so dass gilt n>N ==> |cn - c| < ε.
Und es ist |cn - c|^2 = (cn−c)⋅(cn−c)
= (cn−c)⋅(cn−c)
= (an+ibn−(a+ib))⋅(an−ibn−(a−ib))
= (an−a)+i(bn−b))⋅((an−a)−i(bn−b))
= (an−a)2+(bn−b)2
Das sind ja die Quadrate der reellen Beträge.
Also kann man oben fortsetzen :
|cn - c| < ε ==> |an-a| + |bn-b| < ε
mit Dreiecksungleichung
==> | (an-a) + (bn-b) | ≤ |an-a| + |bn-b| < ε.
Und wenn die Summe zweier nichtnegativer Zahlen < ε ist,
dann ist das jede einzeln auch, also konvergieren
die Folgen der Real- und Imaginärteile einzeln und zwar
gegen a bzw. gegen b.