Aufgabe:
Sei \( S \) eine Menge und sei \( \preceq \) eine partielle Ordnung auf \( S \). Ein Element \( x \in S \) heißt
- maximal, wenn für alle \( y \in S \) mit \( y \succeq x \) gilt, dass \( y=x \);
- minimal, wenn für alle \( y \in S \) mit \( y \preceq x \) gilt, dass \( y=x \);
- größtes Element von \( S \), wenn für alle \( y \in S \) gilt, dass \( y \preceq x \);
- kleinstes Element von \( S \), wenn für alle \( y \in S \) gilt, dass \( y \succeq x \).
Beweisen Sie die folgenden Aussagen.
(a) Gibt es ein (bzgl. \( \preceq \) ) größtes Element von \( S \), so ist dieses das einzige (bzgl. \( \preceq \) ) maximale Element in \( S \). Gibt es ein kleinstes Element in \( S \), so ist dieses das einzige minimale Element von \( S \).
Bemerkung: Da es eindeutig ist, sprechen wir von dem kleinsten/größten Element.
(b) Ist \( S \) endlich und \( y \in S \), so gibt es ein (bzgl. \( \preceq \) ) minimales Element \( x \) in \( S \) mit \( x \preceq y \) (das Element \( x \) ist minimal in \( S \) und nicht bloß in \( \{s \in S \mid s \preceq y\} \) ).
(c) Ist \( S \) endlich, so besitzt \( S \) eine topologische Sortierung bzgl. \( \preceq \).
