Zeigen Sie, dass es genau eine lineare Abbildung Φ: R^3 → R^3 gibt mit Φ(vi) = wi

Question

Aufgabe:

Im Vektorraum R^3 seien die Vektoren :

Problem/Ansatz:

Im Vektorraum R^3 seien die Vektoren :
v1 =(0,1,0)    v2 =(0,0,1)     v3 =(2,1,1) und w1 =(−1,1,2),  w2 =(1,0,−1) , w3 =(4,1,−3)   gegeben.

a) Zeigen Sie, dass es genau eine lineare Abbildung Φ: R^3 → R^3 gibt mit Φ(vi) = wi
für i = 1, 2, 3.
b) Bestimmen Sie Kern Φ, Bild Φ und deren Dimensionen.
c) Zeigen Sie, dass Φ ◦ Φ = Φ ist.

Comments

https://www.mathelounge.de/902562/lineare-abbildungen-beweisen-kern-bild-dimension-bestimmen

Answer 1

Sei \( \begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix} \) ∈ℝ³ , dann gilt

\( \begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix} =(y-0,5x) \cdot v_1 + (z-0,5x) \cdot v_2 + \frac{x}{2}\cdot v_3 \)

wegen der Linearität folgt

\( f(\begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix} )=(y-0,5x) \cdot f(v_1) + (z-0,5x) \cdot f(v_2) + \frac{x}{2}\cdot f(v_3) \)

\(  =(y-0,5x) \cdot \begin{pmatrix} -1\\1\\2 \end{pmatrix} + (z-0,5x) \cdot \begin{pmatrix} 1\\0\\-1 \end{pmatrix} + \frac{x}{2}\cdot \begin{pmatrix} 4\\1\\-3 \end{pmatrix} \)

\( =\begin{pmatrix} 2x-y+z\\y\\-2x+2y-z \end{pmatrix} \)

Also gibt es genau eine solche Abbildung.