Lagrange-Aufgabe: Term löst sich nicht sinnvoll auf

Question

Aufgabe:

Gegeben: $f(x, y)=2 x^{\frac{1}{3}} y^{\frac{2}{3}}, N B:=3 x 2 \sqrt{y}=900$

$\begin{array}{l} L(x, y, \lambda)=2 x^{\frac{1}{3}} y^{\frac{2}{3}}+\lambda(3 x 2 \sqrt{y}-900) \\ \frac{d L}{d x}=\frac{2 y^{\frac{2}{3}}}{3 x^{\frac{2}{3}}}+6\lambda \sqrt{y}, \frac{d L}{d y}=\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3 y^{\frac{1}{3}}+\frac{3\lambda x}{2 \sqrt{y}}} \\ \frac{2 y^{\frac{2}{3}}}{3 x^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{1}{4} \cdot x \cdot \frac{1}{y}=\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3 y^{\frac{1}{3}}} \Leftrightarrow \frac{y^{\frac{2}{3}}}{6 x^{\frac{2}{3}}} x \frac{1}{y}=\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3 y^{\frac{1}{3}}} \mid \cdot 6 x^{\frac{2}{3}} \cdot 3 y^{\frac{1}{3}} \\ y^{\frac{2}{3}} \cdot y^{\frac{1}{3}} \cdot x \frac{1}{y}=24 x \Leftrightarrow y x^{\frac{1}{y}}=24 x \end{array}$

Bei mir steht am Ende immer ein Term in der Form x=ax wobei für x,y > 0 gilt.

Ich kriege es einfach nicht hin es sinnvoll aufzulösen, findet jemand den Fehler oder weiß eine andere Methode?

Comments

Heißt die NB $3x\cdot 2\sqrt{y}=900$? Sieht etwas ungewöhnlich aus!

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Diese Funktion hat unter der angegebenen Nebenbedingung keinen Extremwert im endlichen. Du kannst den Wert für $f(x,y)$ beliebig nach oben treiben, indem Du für einen großen $y$-Wert das $x$ aus der Nebenbedingung berechnest und dann in $f(x,y)$ einsetzt.

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Sprich einen Randwertvergleich als Lösung nehmen?

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Sprich einen Randwertvergleich als Lösung nehmen?

Der "Randwert" liegt im Unendlichen und $f(x,y)$ hat dort einen unendlich großen Wert. Weiß nicht, ob das in Deinem Sinne ist. Was ist denn der Background dieser Aufgabe?

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Man soll einfach das min/max finden bzw. die Extrempunkte. Wenn ich einen Randwert vergleich mache ist 0 = 900 und das kann ja auch nicht sein. Ich müsste dann z.B. auf (x,1) und (1,y) ausweichen und ich weiß nicht ob das so im Sinne ist.

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Man soll einfach das min/max finden bzw. die Extrempunkte.

ja schon - aber woher kommt die Aufgabe? War sie so wie hier vorgestellt gegeben? Oder ist sie das Produkt eines mehr oder weniger praktischen Problems?

Setze für $x$ einen beliebig kleinen Wert $\gt 0$ - z.B. $x=10^{-20}$ dann ist wegen der NB $y\approx 2,25\cdot 10^{44}$ und $f(x,y)\approx1,6\cdot 10^{23}$. Hat das irgendeine praktische Bedeutung?

Answer 1

Wenn die Aufgabe so stimmt, hast du bei

der Abl. nach y im Nenner eine 2 zuviel

(oder im Zähler zu wenig).

Comments

Ableitungen sollten stimmen