Zeige mit Hilfe des Cauchyprodukts: 1/(1-z)2 = ∑(k=0 bis ∞) (k+1)*zk

Question 1

Aufgabe:

Zeigen Sie mit Hilfe des Cauchyprodukts für z∈ℂ mit |z|<1, dass gilt:

1/(1-z)^2 = ∑(k=0 bis ∞) (k+1)*z^k

Problem/Ansatz:

Ich weiß ungefähr wie ich das Problem allgemein beweisen kann, jedoch hab ich leider keinen Ansatz wie ich es mit dem Cauchyprodukt machen soll.

Danke schonmal im Voraus für jede Hilfe.

Question 2

Berechnung mit dem Cauchy-Produkt$$\frac{1}{(1-z)^2}=\frac{1}{1-z}\cdot\frac{1}{1-z}=(\sum_{i=0}^{\infty}z^i)\cdot(\sum_{j=0}^{\infty}z^j)=$$$$=\sum_{n=0}^{\infty}(\sum_{i=0}^{n}(1\cdot 1))z^n$$

Question 3

Leider keine Ahnung wie ich das berechnen soll, wie kommt denn überhaupt der letzte Schritt zustande?

Question 4

Du hast $a_i=1$ und $b_{n-i}=1$, also ist die innere Summe

$\sum_{i=0}^n a_i\cdot b_{n-i}=\sum_{i=0}^n 1\cdot 1$

ermanus · Answer 1 · 2022-01-16T15:58:27+0000

Berechnung mit dem Cauchy-Produkt$$\frac{1}{(1-z)^2}=\frac{1}{1-z}\cdot\frac{1}{1-z}=(\sum_{i=0}^{\infty}z^i)\cdot(\sum_{j=0}^{\infty}z^j)=$$$$=\sum_{n=0}^{\infty}(\sum_{i=0}^{n}(1\cdot 1))z^n$$

Leider keine Ahnung wie ich das berechnen soll, wie kommt denn überhaupt der letzte Schritt zustande? — Weizen559, 16 Jan 2022
Du hast $a_i=1$ und $b_{n-i}=1$, also ist die innere Summe
$\sum_{i=0}^n a_i\cdot b_{n-i}=\sum_{i=0}^n 1\cdot 1$ — ermanus, 16 Jan 2022

Zeige mit Hilfe des Cauchyprodukts: 1/(1-z)2 = ∑(k=0 bis ∞) (k+1)*zk

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