LGS mit Parametern, Lösbarkeit überprüfen

Question

Aufgabe:

LGS mit Parameter


Problem/Ansatz:

Für welche Werte des Parameters a liegt eindeutige
Lösbarkeit vor?


ax+2y=5

8x+ay=10

Wie gehe ich nun vor?

Answer 1

ax+2y=5   |*8

8x+ay=10   |*a (Kannst von a≠0 ausgehen, denn dafür ist es eindeutig lösbar)

==>

8ax+16y=40

8ax+a^2y=10a   1. minus 2.

==>     16y - a^2y = 40-10a

==>   (16-a²)*y = 40-10a

Nicht eindeutig lösbar ist das nur für 16-a² = 0

also für 4 oder -4.

Für alle Werte von a, außer 4 und -4 ist es eindeutig lösbar.

Answer 2

Aloha :)

Ein lineares Gleichungssystem ist genau dann eindeutig lösbar, wenn die Determinante der Koeffizientenmatrix ungleich Null ist, denn dann ist die Koeffizientenmatrix invertierbar.

$$\left|\begin{array}{rr}a & 2\\8 & a\end{array}\right|=a^2-16=(a+4)(a-4)\stackrel{!}{\ne}0$$Für $a=\pm4$ gibt es eintweder keine oder unendich viele Lösungen.

Für $a\ne-4$ und $a\ne4$ gibt es genau eine Lösung.