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Hi! Ich brauche eigentlich nur die Lösung der Ungleichung. Wenn Ihr Lust habt könnt ihr den GraphischenTeil aber auch machen. 

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(2x + 2) / (1 - |x|) <= x

Für x >= 0 gilt

(2x + 2) / (1 - x) <= x

Für x < 1 gilt

(2x + 2) <= x*(1 - x)
2x + 2 <= x - x^2
x^2 + x + 2 <= 0
keine Lösung

Für x > 1 gilt

(2x + 2) >= x*(1 - x)
2x + 2 >= x - x^2
x^2 + x + 2 >= 0
x > 1

Für x < 0 gilt

(2x + 2) / (1 + x) <= x

Für x > -1

(2x + 2) <= x(1 + x)
2x + 2 <= x + x^2
x^2 - x - 2 >= 0
x >= -1
keine Lösung

Füx x < -1

(2x + 2) >= x(1 + x)
2x + 2 >= x + x^2
x^2 - x - 2 <= 0
-1 ≤ x ≤ 2
keine Lösung

Die einzige Lösung ist hier also x > 1.

Grafisch ist es einfacher:

Gesucht sind hier die x wo der rote Graph unter dem blauen liegt. Das ist für x > 1 der Fall.

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Zunächst mal ist die Ungleichung nicht definiert für

|x| = 1,

da dann durch 0 geteilt werden müsste.
Es ist also klug, die Ungleichung einzeln für die vier möglichen Bereiche

x > 1, 0<x<1, -1<x<0, x<-1

zu betrachten.

 

x>1: |x|=x

(2x+2)/(1-x) ≤ x

Insbesondere ist (1-x) nun kleiner als 0, also muss das Relationszeichen umgedreht werden, wenn man damit malnimmt:
2x + 2 ≥ x-x²

x²+x+2 ≥ 0

(x+1/2)² -1/4 + 2 ≥ 0

(x+1/2)² ≥ -7/4

Das Quadrat einer reellen Zahl ist immer positiv, also ist die Ungleichung für alle x im betrachteten Bereich erfüllt.

 

0<x<1:  Es gilt immer noch |x|=x, allerdings ist nun (1-x) größer als 0:

2x + 2 ≤ x - x²

Das führt analog zu

(x+1/2)² ≤ -7/4

was mit der selben Begründung wie oben dieses mal aber nicht lösbar ist.

 

-1<x<0:  |x|=-x und 1-|x| > 0:

(2x+2)/(1+x) ≤ x

2x + 2 ≤ x+x²

x²-x-2 ≥ 0

(x-1/2)² ≥ 9/4

(x-1/2)² - 9/4 ≥ 0

Nun kann man links die dritte binomische Formel anwenden:

(x-1/2-3/2)*(x-1/2+3/2) ≥ 0
(x-2)*(x+1) ≥ 0

Diese Gleichung ist erfüllt, wenn beide Faktoren dasselbe Vorzeichen haben. Im Bereich zwischen 0 und -1 geht der linke Faktor von -2 bis -3, ist also immer negativ, der rechte geht von 1 bis 0, ist also immer positiv ⇒ die Gleichung besitzt in diesem Bereich keine Lösung.

 

Bleibt noch der vierte Bereich: x<-1: |x|=-x, 1-|x| < 0, das ergibt völlig analog die Gleichung:

(x-2)*(x+1) ≤ 0

diese Gleichung ist erfüllt, wenn beide Faktoren ein unterschiedliches Vorzeichen haben.

Für x < -1 sind aber beide Faktoren stets negativ, auch hier ist die Gleichung also nicht lösbar.

 

 

Insgesamt ist die Lösung also x ≥ 1.

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