Wie lautet die n-te Ableitung von f(x) = x*lnx?

Question

suche die n-te Ableitung von f(x) = x*ln(x)

f '(x) = lnx+1
f ''(x)= 1/x
f'''(x) = -x^{-2}
f⁴(x) = 2x^{-3}  ... ich bekomme es einfach nicht hin die n-te ableitung zu finden :-(

ich könnte die n-te ableitung für (n=2,3,4,5..) bilden also ab 1/x aber für die ersten beiden haut es einfach nicht hin

Answer 1

f(x) = x * lnx

Ableitung hier mit Produktregel

f '(x) = 1 * ln(x) + x * 1/x = ln(x) + 1
f ''(x) = 1/x = x^-1
f '''(x) = -x^-2

5. Ableitung

f⁵'(x) = - 6/x^4

n. Ableitung mit n >= 2

fⁿ'(x) = (-1)^n * (n-2)! * x^-(n-1)

Allgemeingültig damit auch die erste Ableitung klappt wüsste ich so auch nicht. Ich würde es mit einer Fallunterscheidung machen.

Man könnte es auch allgemeingültiger mit der Signumfunktion machen. Aber das ist unschöner als eine Fallunterscheidung und denke ich auch nicht so gewollt vom Lehrer/Dozenten.

fⁿ'(x) = (-1)^n * (n-2)! * x^-(n-1) * sgn(n - 1) + ln(x) * (1 - sgn(n - 1))

Jetzt dürfte man für n >= 1 sagen.