Berechnen sie die Schnittpunkte des Graphen von f mit der x-Achse sowie die Extrempunkte des Graphen.

Question

Aufgabe: f(x)= 5x*(2ln(x) +1)

1. Berechnen sie die Schnittpunkte des Graphen von f mit der x-Achse sowie die Extrempunkte des Graphen. Begründen sie, dass f keine wendestelle hat
2. Begründen sie, dass f(x) → 0 für x → 0 gilt

Problem/Ansatz:

Kann es jemand ausrechnen, ich mache die ganze Zeit Fehler

Answer 1

1.

Nullstellen

f(x) = 5·x·(2·LN(x) + 1) = 0

Satz vom Nullprodukt

x = 0

2·LN(x) + 1 = 0 --> x = 1/√e

Extrempunkte

f'(x) = 10·ln(x) + 15 = 0 --> x = 1/√(e³) Nullstelle mit VZW von - zu + und damit ein Tiefpunkt

f(1/√(e³)) = - 10/√(e³) → TP(1/√(e³) | - 10/√(e³))

Wendepunkte

f''(x) = 10/x = 0 → Keine Nullstelle

2.

lim (x → 0) 5·x·(2·LN(x) + 1) = 0

Skizze

Plotlux öffnen

f₁(x) = 5·x·(2·ln(x)+1)Zoom: x(0…1) y(-3…6)

Answer 2

$f(x)= 5x*(2*ln(x)+1)$

1. Berechnen sie die Schnittpunkte des Graphen von f mit der x-Achse sowie die Extrempunkte des Graphen. Begründen sie, dass f keine wendestelle hat.

Nullstellen:

$5x*(2*ln(x)+1)=0$

$x₁=0$

$2*ln(x)+1=0$

$ln(x)=-0,5$

$e^{ln(x)}= e^{-0,5}$

$x≈0,61$

Extrempunkte des Graphen:

$f´(x)= 5*(2*ln(x)+1)+5x*\frac{2}{x}$

$f´(x)= 5*(2*ln(x)+1)+10$

$5*(2*ln(x)+1)+10=0$

$(2*ln(x)+1)=-2$

$(2*ln(x)+1)=-2$

$2*ln(x)=-3$

$ln(x)=-1,5$

$x=e^{-1,5}≈0,223$

 $f(e^{-1,5})= 5*e^{-1,5}*(2*ln(e^{-1,5})+1)$

$f(e^{-1,5})= 5*e^{-1,5}*(-2)=-10e^{-1,5}≈-2,23$

Art des Extremwertes über die 2. Ableitung von f(x) berechnen:

$f´´(e^{-1,5})=$ Ist der Wert >0 dann Minimum . Bei <0 liegt ein Maximum vor.

Mit der $f´´(x)=0$ wäre eine Wendestelle bestimmbar. Aber diese soll ja nicht da sein.