det (A) * det (D) = det (A,B,0,D)?

Question

Aufgabe:

Seien A und D zwei quadratische Matrizen, sagen wir A ∈ MatK (n × n) und D ∈ MatK (m × m),
und sei B ∈ MatK (n × m). Zeigen Sie, dass gilt:

$\operatorname{det}\left(\begin{array}{cc} A & B \\ 0 & D \end{array}\right)=\operatorname{det}(A) \cdot \operatorname{det}(D)$
Zeigen Sie andererseits, dass
$\operatorname{det}\left(\begin{array}{cc} A & B \\ C & D \end{array}\right)=\operatorname{det}(A) \cdot \operatorname{det}(D)-\operatorname{det}(B) \cdot \operatorname{det}(C)$
selbst für quadratische Matrizen $A, B, C, D \in \operatorname{Mat}_{K}(n \times n)$ im Allgemeinen nicht gilt.

Answer 1

Zum 1. Teil:

Seien $E_n,\; E_m$ die $n\times n$- bzw. $m\times m$-Einheitsmatrizen.

Dann gilt$$\left(\begin{array}{cc}A&B\\0&D\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}E_n&B\\0&D\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{cc}A&0\\0&E_m\end{array}\right)$$
Wir betrachten$$\det(\left(\begin{array}{cc}E_n&B\\0&D\end{array}\right)),\; B=(b_{ij})$$
Diese Determinante ändert sich nicht, wenn man ein Vielfaches einer Spalte
zu einer anderen Spalte addiert. Subtrahiert man das $b_{i,j}$-fache der $j$-
ten Spalte $e_j$ von der $(n+j)$-ten Spalte der Matrix, entsteht an der Stelle
$(i, n+j)$ eine 0. Auf diese Weise kann man sämtliche Elemente des $B$-
Blockes durch "Scherungsoperationen" zu 0 machen.$$\det(\left(\begin{array}{cc}E_n&B\\0&D\end{array}\right))=\det(\left(\begin{array}{cc}E_n&0\\0&D\end{array}\right))=\det(D)$$...

Answer 2

zum 2. Teil z.B. die Matrix

$\begin{pmatrix} 1&0&1&0 \\ 0&1&0&-1\\1&0&1&0 \\ 0&1&0&1 \end{pmatrix}$

hat det 0, da zwei gleiche Zeilen.

Aber


$det(\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}) \cdot det(\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}) - det(\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}) \cdot det(\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix})$

= 1*1 - (-1)*1 = 2

Comments

Bei der Determinante nach dem "-"-Zeichen hast du einen
Schreibfehler !

Und du hast wohl \dot statt \cdot gelatext ;-)

---

Danke, habe es korrigiert.

---

Vielen Dank für deine hilfreiche und ausführliche Antwort! Eine kleine Frage noch: wie kommst du auf das -1 in der Matrix B?

---

B ist die obere rechte 2x2 Teilmatrix von der großen.

---

Ja, dass sehe ich und habe das auch so verstanden - aber ist die obere Matrix einfach eine von dir zufällig ausgewählte Matrix?

---

zufällig nicht, sondern so ausgewählt, dass die

zu widerlegende Gleichung auch wirklich nicht gilt.

Und die Idee war mit Einheitsmatrizen bzw. leicht modifizierten

auf 1*1 - (-1)*1 zu kommen.

---

Okay, vielen dank!