Vektoren im Raum: Aussagen richtig oder falsch

Question

Aufgabe:

Geben sind drei Vektoren:

\( a=\left(\begin{array}{c} \alpha \\ -4 \\ 2 \end{array}\right), \quad b=\left(\begin{array}{c} 0 \\ -2 \\ 1 \end{array}\right) \quad \text { und } \quad c=\left(\begin{array}{c} 4 \\ 1 \\ -2 \end{array}\right), \quad \alpha \in \mathbb{R} \)

Beurteilen Sie, ob die folgenden Aussagen richtig oder falsch sind:

(1) Die Vektoren \( b \) und \( c \) stehen orthogonal aufeinander.

(2) Für \( \alpha=0 \) ist Vektor \( a \) ein vielfaches von Vektor \( b \).

(3) Es gilt \( \|a\|+\|b\| \leq\|a+b\| \) für alle \( \alpha \), wobei \( \|\cdot\| \) die Länge eines Vektors bezeichnet.

(4) Für \( \alpha=4,\|a\|=6 \).

(5) Die Entfernung zwischen \( b \) und \( c \) beträgt 34 .

(6) Für alle \( \alpha \) sind die Vektoren \( a, b \) und \( c \) linear unabhängig.

Problem/Ansatz:

ich habe Schwierigkeiten bei den Punkten 2 bis 5

Comments

Was ist unklar bei (4)? Rechne die Länge des Vektors aus und schau, ob sie 6 beträgt.

Answer 1

(1) Die Vektoren \( b \) und \( c \) stehen orthogonal aufeinander:

- Kannst du mit dem Skalarprodukt von \( b \) und \( c \) prüfen. Ist das Skalarprodukt 0, dann sind die Vektoren orthogonal.

(2) Für \( \alpha=0 \) ist Vektor \( a \) ein vielfaches von Vektor \( b \):

- Gibt es ein k*(0, -4, 2)^T = (0, -2, 1)^T

(3), (4):

- Einsetzen

(5) Die Entfernung zwischen \( b \) und \( c \) beträgt 34:

- Dann sind die "Vektoren" als "Punkte" zu verstehen und das wäre dann der Abstand zweier Punkte.

(6) Für alle \( \alpha \) sind die Vektoren \( a, b \) und \( c \) linear unabhängig:

- Lineares Gleichungssystem aufstellen und Rank prüfen

Comments

Dann 4. Aussage ist falsch? Da a=2 ist?

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Wenn ich die Norm von (4, -4, 2)^T berechne komme ich auf 6, es ist ja \(\sqrt{4^2 + (-4)^2+2^2} = 6\)

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Und die Entfernung zwischen b und c ist: Wurzel 34 nicht nur 34?

Ich habe so berechnet: Wurzel 4^2+(-3)^2+3^2=Wurzel von 34

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Genau, das ist richtig!

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Vielen Dank für deine große Hilfe, Fragensteller001!

Könnstest du bitte die Rechenwege vom Punkt 2 und 3 zeigen?

6. Punkt kriege ich nicht hin :(

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(2):

k*(0, -4, 2)^T = (0, -2, 1)^T, jetzt gibt es ein k, nämlich 0.5, sodass man den einen Vektor durch den anderen darstellen kann.

(3):

Setz einmal für \(\alpha = 2\) ein, dann kannst du zeigen, dass die Ungleichung nicht stimmt. Das wäre dann ein Gegenbeispiel. Richtig wäre aber \(  \|a+b\| \leq \|a\|+\|b\| \) vgl. Dreiecksungleichung.

(6):

Erstelle ein LGS:

alpha 0 4

-4 -2 1

2 1 -2

und bringe es in Gauß Jordan Form. Für alpha != 0 hat das LGS vollen Rank für alpha = 0 hat es keinen vollen Rank. Die Vektoren sind also nur für alpha != 0 linear unabhängig...

Answer 2

Zu 2) \( \vec{0} \) ist ein Vielfaches von jedem (hier dreidimensionalen) Vektor.

Die Vektorschreibweise ist bei dieser Aufgabe nicht gelungen.

Comments

Die Vektorschreibweise ist bei dieser Aufgabe nicht gelungen.

Das ist keine Antwort.

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Da steht auch die Antwort zu 2).

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Liegt eventuell eine Verwechslung von a mit \(\alpha\) vor?

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@Roland: Du hast nicht erkannt, dass \(a\) und \(\alpha\) verschiedene

Zeichen sind. \(a\) ist ein Vektor und \(\alpha\) ist ein Körperelement.