Aufgabe: Für welche p sind die 3 Vektoren linear abhängig
a = (−252) \begin{pmatrix} -2\\5\\2\end{pmatrix} ⎝⎛−252⎠⎞
b = (−9−618) \begin{pmatrix} -9\\-6\\18 \end{pmatrix} ⎝⎛−9−618⎠⎞
c =(−53p) \begin{pmatrix} -5\\3\\p \end{pmatrix} ⎝⎛−53p⎠⎞
Problem/Ansatz: Hallo, ich muss berechnen für welche p die 3 Vektoren linear abhängig sind, ich finde den richtigen Ansatz nicht.
LG
Aloha :)
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Die Vektoren sind linear abhängig, wenn das von ihnen aufgespannte Volumen =0=0=0 ist.
Das aufgespannte Volumen berechnest du entweder mit dem Spatprodukt oder einfacher mit der Determinante:0=!∣−2−9−55−63218p∣=Z1+=Z3∣09p−55−63218p∣=Z2−=2Z3∣09p−51−423−2p218p∣0\stackrel!=\left|\begin{array}{rrr}-2 & -9 & -5\\5 & -6 & 3\\2 & 18 & p\end{array}\right|\stackrel{Z_1+=Z_3}{=}\left|\begin{array}{rrr}0 & 9 & p-5\\5 & -6 & 3\\2 & 18 & p\end{array}\right|\stackrel{Z_2-=2Z_3}{=}\left|\begin{array}{rrr}0 & 9 & p-5\\1 & -42 & 3-2p\\2 & 18 & p\end{array}\right|0=!∣∣∣∣∣∣∣−252−9−618−53p∣∣∣∣∣∣∣=Z1+=Z3∣∣∣∣∣∣∣0529−618p−53p∣∣∣∣∣∣∣=Z2−=2Z3∣∣∣∣∣∣∣0129−4218p−53−2pp∣∣∣∣∣∣∣0=Z3−=2Z2∣09p−51−423−2p01025p−6∣=−9⋅(5p−6)+102⋅(p−5)\phantom{0}\stackrel{Z_3-=2Z_2}{=}\left|\begin{array}{rrr}0 & 9 & p-5\\1 & -42 & 3-2p\\0 & 102 & 5p-6\end{array}\right|=-9\cdot(5p-6)+102\cdot(p-5)0=Z3−=2Z2∣∣∣∣∣∣∣0109−42102p−53−2p5p−6∣∣∣∣∣∣∣=−9⋅(5p−6)+102⋅(p−5)0=57p−456=57(p−8)\phantom{0}=57p-456=57(p-8)0=57p−456=57(p−8)
Für p=8p=8p=8 sind die drei Vektoren linear abhängig.
Vielen dank, das war echt hilfreich
Die Vektoren sind linear unabhängig wenn aus
λ1a⃗+λ2b⃗+λ3c⃗=0 \lambda_1 \vec{a} + \lambda_2 \vec{b} + \lambda_3 \vec {c} = 0 λ1a+λ2b+λ3c=0 folgt, das gilt λ1=λ2=λ3=0 \lambda_1 = \lambda_2 = \lambda_3 = 0 λ1=λ2=λ3=0
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