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Aufgabe 31
ImR4 \operatorname{Im} \mathbb{R}^{4} seien die folgenden Vektoren gegeben:
v1=(4102),v2=(1412),v3=(4324),v4=(2646) v_{1}=\left(\begin{array}{c} 4 \\ 1 \\ 0 \\ -2 \end{array}\right), \quad v_{2}=\left(\begin{array}{c} 1 \\ 4 \\ -1 \\ 2 \end{array}\right), \quad v_{3}=\left(\begin{array}{c} 4 \\ 3 \\ 2 \\ -4 \end{array}\right), \quad v_{4}=\left(\begin{array}{c} 2 \\ 6 \\ -4 \\ 6 \end{array}\right)
Wir betrachten V=SpanR{v1,,v4}R4 V=\operatorname{Span}_{\mathbb{R}}\left\{v_{1}, \ldots, v_{4}\right\} \subseteq \mathbb{R}^{4} .
(i) Bestimmen Sie dimR(V) \operatorname{dim}_{\mathbb{R}}(V) .
(ii) Bestimmen Sie sämtliche Möglichkeiten, aus v1,,v4 v_{1}, \ldots, v_{4} eine Basis für V V auszuwählen.

Aufgabe:


Problem/Ansatz:

Hey kann mir wer helfen wie ich den dim bestimme? bzw wie ich eine Basis auswähle?

Avatar von

Ich sehe leider deinen Vorlesungshefter nicht. Sonst könnte ich dir beim Blättern zu der Seite helfen, wo das steht.

Oder findest du es selbst?

1 Antwort

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wie ich den dim bestimme

Bilde die Matrix MM , die die Vektoren v1,,v4v_{1}, \ldots, v_{4} als Spalten hat.

Bestimme den Rang nn von MM.

wie ich eine Basis auswähle

Basen von VV sind die linear unabhängigen nn-elementigen Teilmengen von {v1,,v4}\left\{v_{1}, \ldots, v_{4}\right\}. Prüfe also jede nn-elementige Teilmenge von {v1,,v4}\left\{v_{1}, \ldots, v_{4}\right\} auf lineare Unabhängigkeit.

Avatar von 107 k 🚀

also das mit der Basis verstehe ich leider immer noch nicht... wie was genau prüf ich da?

Angenommen du hast festgestellt, dass dimR(V)=2 \operatorname{dim}_{\mathbb{R}}(V) =2 ist.

Dann prüfst du jede 2-elementige Teilmenge von

        {(4102),(1412),(4324),(2646)} \left\{\begin{pmatrix} 4 \\ 1 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 4 \\ 3 \\ 2 \\ -4 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 2 \\ 6 \\ -4 \\ 6 \end{pmatrix}\right\}

auf lineare Unabhängigkeit. Wie du eine Menge auf lineare Unabhängigkeit prüfst, steht in deinen Unterlagen in der Definition von lineare Unabhängigkeit.

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