Zeige, dass die Gleichung eine positive Lösung besitzt

Question

Aufgabe:

Zeige, dass die folgende Gleichung eine Lösung $x_{0}>0$ besitzt:
$\frac{1}{1+x^{2}}=\sqrt{x}$

Answer 1

Aloha :)

Da $\frac{1}{1+x^2}$ und $\sqrt x$ für $(x>0)$ stetig sind, ist auch die Funktion:$$f(x)\coloneqq\frac{1}{1+x^2}-\sqrt x$$für $(x>0)$ stetig. Zusätzlich gilt:$$f\left(\frac14\right)=\frac{1}{1+\frac{1}{16}}-\frac12=\frac{16}{17}-\frac12>0\quad;\quad f(1)=\frac{1}{2}-1<0$$

Nach dem Zwischenwertsatz nimmt $f(x)$ für $x\in\left[\frac14\big|1\right]$ jeden Wert zwischen $f(1)>0$ und $f(\frac14)<0$ an. Daher gibt es ein $x_0\in\left[\frac14\big|1\right]$ mit $f(x_0)=0$ bzw.$$\frac{1}{1+x_0^2}=\sqrt{x_0}$$

Answer 2

Hallo

a für x0<0 ist das gar nicht definiert, x0=0 ist keine Lösung

dann 1/(1+x²)- √x=f(x)

f(0)=1>0 f(1)=-1/2<0   f stetig also eine Nullstelle

lul

Answer 3

Ja, das ist so:

                                .

Answer 4

Zeichne die Graphen von $f(x) = \frac{1}{1+x^2}$ und $g(x) = \sqrt{x}$ in ein gemeinsamens Koordinatensystem ein.

Tipp. Dafür gibt es Computerprogramme.

Lese ein $x_1 > 0$ ab, so dass $f(x_1) > g(x_1)$ ist.

Lese ein $x_2 > 0$ ab, so dass $f(x_2) < g(x_2)$ ist.

Berechne $f(x_1)$, $f(x_2)$, $g(x_1)$ und $g(x_2)$.

Laut dem Zwischenwertsatz gibt es ein $x_0 \in [x_1, x_2]$, so dass $f(x_0) = g(x_0)$ ist.