Extremwertaufgabe mit einem Dreieck

Question

Aufgabe:Extremwertaufgabe

Problem/Ansatz:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x) = 1/8x - 2x; x∈ℝ, mit Schaubild K_f . Die Punkte P(u | f(u)) und Q (u|0) bilden zusammen mit dem Ursprung 0 ein Dreieck.

a) Zeichnen Sie für u = 3 das Dreieck in ein Koordinatensystem ein und bestimmen sie den
Flächeninhalt A (3).
1) Bestimmen Sie für 0 ≤ uS4 den Flächeninhalt A in Abhängigkeit von u.
Bestimmen Sie das Dreieck mit dem absolut größten Flächeninhalt.

Hallo,

könnte mir bitte jemand bei dieser Aufgabe helfen, da ich wirklich nicht weiß wie ich sie lösen soll :/ .

Comments

f(x) = 1/8x - 2x; Stimmt das so?

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Sie meint wohl: 1/(8x)

https://www.wolframalpha.com/input?i=plot+1%2F%288x%29+-2x

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Ja, ich meine f(x)=$\frac{1}{8}$x-2x

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für 0 ≤ uS4

Ups ich meine für 0 ≤ u≤ 4

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Steht dort $\frac{1}{8}x$ oder $\frac{1}{8}x^2$ oder etwas anderes?

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Ach so da sollte f(x)=$\frac{1}{8}$x³-2x stehen

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Ach so. Und was würde dort hingehören, wo Du 0 ≤ uS4 geschrieben hast?

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Und was würde dort hingehören, wo Du 0 ≤ uS4 geschrieben hast?

ich vermute $0 \le u \le 4$

@Lina-Maria: sieht das Schaubild K_f in etwa so aus:

??

Den Punkt auf der X-Achse kannst Du verschieben.

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Ja, genau.Und wie genau berechnet man jetzt die Fläche ?

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@Werner: Geniales Ding. Sagt man dem "Widget"?

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Wenn man die Fläche berechnen möchte wäre dann die Zielfunktion: A(x)= $\frac{1}{2}$*x*-f(x)

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Wie wäre es, wenn du dir mal meine Antwort anschaust?

Answer 1

f(x)=$\frac{1}{8} x^3-2x$

1) Bestimmen Sie für 0 ≤ u≤4 den Flächeninhalt A in Abhängigkeit von u.
$A(u)=u*(\frac{1}{8} u^3-2u)*\frac{1}{2}=\frac{1}{16}*u^4-u^2$

Bestimmen Sie das Dreieck mit dem absolut größten Flächeninhalt.

$A´(u)=\frac{1}{4}*u^3-2u$

$\frac{1}{4}*u^3-2u=0$

$u*(\frac{1}{4}*u^2-2)=0$

$u₁=0$ Hier ist die Fläche minimal

$u₂=2*\sqrt{2}$

$u₃=-2*\sqrt{2}$ entfällt wegen Definitionsbereich von u

$A(2*\sqrt{2})=\frac{1}{16}*64-8=-4$

Da eine Fläche nicht negativ sein kann, gilt $A=4$

Comments

Ich habe bei Aufgabe a) ein Flächeninhalt von -3,94, stimmt das ?

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Schau dir mal das veränderbare Schaubild von Werner-Salomon an.

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Müsste man aber die zielfunktion, also A(x)=$\frac{1}{2}$ *x*f(x),

zu A(x)=$\frac{1}{2}$ *x*-f(x) um ändern wegen dem negativen Ergebnis?

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Da man das vorher nicht weiß, muss man das nicht. Es reicht den Flächeninhalt im Antwortsatz positiv anzugeben.