Zuersteinmal gilt
\(\begin{aligned} f_{n}(x)=\frac{x}{1+n x^{2}} \stackrel{n \rightarrow \infty}{\longrightarrow} 0=: f(x) .\end{aligned} \)
Für die gleichmässige Konvergenz berechnen wir
\(\begin{aligned} \sup _{x \in \mathbb{R}}\left|f_{n}(x)-f(x)\right|=\sup _{x \in \mathbb{R}}\left|\frac{x}{1+n x^{2}}\right| .\end{aligned} \)
Es ergibt sich
\(\begin{aligned} f_{n}^{\prime}(x)=\frac{1-n x^{2}}{\left(n x^{2}+1\right)^{2}} =0 \Longrightarrow x_{0} \in\{\pm \sqrt{n}, 0\}\end{aligned} \)
und man überprüft leicht, dass es sich bei \( \pm \sqrt{n} \) um ein Maximum handelt, also
\(\begin{aligned} \sup _{x \in \mathbb{R}}\left|f_{n}(x)\right|=\frac{\sqrt{n}}{1+n^{2}} \stackrel{n \rightarrow \infty}{\longrightarrow} 0 .\end{aligned} \)
Das zeigt die gleichmässige Konvergenz.
