Bestimmen Sie alle kritischen Punkte der Funktion

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie alle kritischen Punkte der Funktion
$f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R} ; \quad f(x, y)=x^{3}+3 x y^{2}-15 x-12 y .$
Untersuchen Sie bei jedem kritischen Punkt, ob sich dort ein lokales oder globales Extremum befindet.

Problem/Ansatz:

Kriege diese Aufgabe nicht gelöst.

Answer 1

Aloha :)

Wir suchen zunächst die kritischen Punkte der Funktion$$f(x;y)=x^3+3xy^2-15x-12y$$indem wir die Nullstellen des Gradienten bestimmen:$$\binom{0}{0}\stackrel!=\operatorname{grad}f(x;y)=\binom{3x^2+3y^2-15}{6xy-12}\implies\left\{\begin{array}{l}x^2+y^2=5\\xy=2\end{array}\right.$$Aus diesen beiden Gleichungen folgt:$$1=5-2\cdot2=(x^2+y^2)-2\cdot xy=(x-y)^2\implies x-y=\pm1$$$$9=5+2\cdot2=(x^2+y^2)+2\cdot xy=(x+y)^2\implies x+y=\pm3$$Damit haben wir 4 Kombinationen gefunden:$$x-y=+1\;\land\;x+y=+3\implies 2x=4\implies x=2\;;\;y=1\implies P_1(2;1)$$$$x-y=+1\;\land\;x+y=-3\implies 2x=-2\implies x=-1\;;\;y=-2\implies P_2(-1;-2)$$$$x-y=-1\;\land\;x+y=+3\implies 2x=2\implies x=1\;;\;y=2\implies P_3(1;2)$$$$x-y=-1\;\land\;x+y=-3\implies 2x=-4\implies x=-2\;;\;y=-1\implies P_4(-2;-1)$$

Wir müssen nun die gefundenen Kandidaten mit der Hesse-Matrix auf Extrema prüfen:$$H(x;y)=\left(\begin{array}{cc}6x & 6y\\6y & 6x\end{array}\right)\implies$$$$H_1(2;1)=\begin{pmatrix}12 & 6\\6 & 12\end{pmatrix}\implies\text{Hauptminoren: }12\;;\;108\implies\text{positiv definit}$$$$H_2(-1;-2)=\begin{pmatrix}-6 & -12\\-12 & -6\end{pmatrix}\implies\text{Hauptminoren: }-6\;;\;-108\implies\text{indefinit}$$$$H_3(1;2)=\begin{pmatrix}6 & 12\\12 & 6\end{pmatrix}\implies\text{Hauptminoren: }6\;;\;-108\implies\text{indefinit}$$$$H_4(-2;-1)=\begin{pmatrix}-12 & -6\\-6 & -12\end{pmatrix}\implies\text{Hauptminoren: }-12\;;\;108\implies\text{negativ definit}$$

Bei $P_1(2;1)$ liegt also ein lokales Minimum, bei $P_4(-2;-1)$ liegt ein lokales Maximum.

Answer 2

Kriege diese Aufgabe nicht gelöst.

Das hoffe ich doch, dass du die Aufgabe nicht (vom jemand anderem) gelöst kriegst.

Versuche es doch mal selbst. Wie sehen deine beiden partiellen Ableitungen nach x bzw. nach y aus?

Vielleicht kannst du ja mehr als du glaubst.

Comments

Ich habe den dezent versteckten Hinweis verstanden ;)

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Ich habe DIR doch gar keinen Hinweis gegeben.

:-)

Es war nur eine Ermutigung für den Fragesteller.

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Ich fand den Hinweis auch dezent, du warst schon mal deutlicher.

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, du warst schon mal deutlicher.

Tut mir leid, dass ich im Alter nachlasse.

Soll ich mich wieder mehr anstrengen?

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abakus, das nennt man Altersmilde! Baue das ruhig ein bisschen aus! :-)

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Wird schwer.

60 Jahre und kein bisschen weise ...

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Du bist echt schon 60? Hätte ich nicht gedacht. Aber du schaffst das!