Question

Zeigen Sie, dass für die Funktion φ : Z_n → Z/nZ, a ↦ + nZ gilt:

• φ ist ein Ringhomomorphismus

• φ ist injektiv

• φ ist surjektiv

Comments

Was ist denn bei dir $Z_n$ und soll es

vielleicht $a\mapsto a+nZ$ heißen?

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Text erkannt:

5.3. Lemma: Sei $n \in \mathbb{N}$. Dann gill $\mathbb{Z}_{n} \cong \mathbb{Z} / n \mathbb{Z}$.
Beweis: Definiere $\varphi: \mathbb{Z}_{n} \rightarrow \mathbb{Z} / n \mathbb{Z}: a \mapsto a+n \mathbb{Z}$. Zeige, daß $\varphi$ ein Ringhomomorphismus, injektiv und surjektiv ist.

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Text erkannt:

Beweisen Sie Lemma $5.3$ aus der Vorlesung. Zeigen Sie dafür, dass für die Funktion $\varphi: \mathbb{Z}_{n} \rightarrow \mathbb{Z} / n \mathbb{Z}, a \rightarrow a+n \mathbb{Z}$ gilt:
- $\varphi$ ist ein Ringhomomorphismus
- $\varphi$ ist surjektiv
- $\varphi$ ist injektiv

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Was ist denn bei dir $Z_n$?

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Text erkannt:

Aus den Übungen und dem vorherigen Kapitel schon bekannt ist die folgende Definition
5.1. Definition: Sei $n \in \mathbb{N}$ und $\mathbb{Z}_{n}:=\{0, \ldots, n-1\}$. Definiere für $a, b \in \mathbb{Z}_{n}$
- $a+b=(a+b) \bmod n$.
- $a \cdot b=(a \cdot b) \bmod n$.
5.2. Bemerkung: Erinnerung:
(a) Für jedes $n \in \mathbb{N}$ ist $\mathbb{Z}_{n}$ cin kommutativer Ring.
(b) $\mathbb{Z}_{n}$ ist ein Körper genau dann, wenn $n$ eine Primzahl ist.
(c) $\mathbb{Z}_{1}=\{0\}$ ist ein Spezialfall, den wir im wesentlichen auslassen werden.
5.3. Lemma: Sei $n \in \mathbb{N}$. Dann gilt $\mathbb{Z}_{n} \simeq \mathbb{Z} / n \mathbb{Z}$.
Beweis: Definierc $\varphi: \mathbb{Z}_{n} \rightarrow \mathbb{Z} / n \mathbb{Z}: a \mapsto a+n \mathbb{Z}$. Zeige, daß $\varphi$ ein Ringhomomorphismus, injektiv und surjektiv ist.

Das ist alles Infons, die ich habe :/

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Ich bitte um eure Hilfe. :( :(

Answer 1

Zur Injektivität:

Seien $a,b\in Z_n$ mit $\varphi(a)=\varphi(b)$, also

$a+nZ=b+nZ$. Ohne Beschränkung der Allgemeinheit

sei $b\leq a$. Aus $a+nZ=b+nZ$ folgt

$a-b\in nZ$. Es gibt also ein $c\in Z$ mit

$0\leq a-b = nc$. Da aber $b\leq a$ ist,

muss $0\leq a-b\leq a \leq n-1$ sein,

also $c=0$, folglich $a=b$.

Comments

Kannst du mir auch bitte bitte bei Ringhomomorphismus helfen? Ich hab selber surjektiv geschafft. Ich kann aber Ringhomo. nicht :/