Weshalb ist lcm({-5})=1 in ℝ[x]?

Question

Aufgabe:

Weshalb ist lcm({-5})=1 in ℝ[x]?

Kann mir jemand der Hintergrund erklären?

Vielen Dank im voraus

lcm=kgv

Comments

Was bedeutet  lcm({-5}) ?

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Das stand bei uns genau so im Skript. Das kleinste gemeinsame vielfache der Menge mit -5.

Die Lösung wäre 1 in R[x] aber warum?

Answer 1

$R:=\mathbb{R}[X]$ ist ein euklidischer Ring, also

auch ein Hauptidealring, in dem z.B. die eindeutige

Primelement-Zerlegung gilt. Die Einheiten von $R$

sind $R^*=\mathbb{R}^*$. Gilt $a\; | \; b$ und $b \; | \; a$,

so sind $a$ und $b$ assoziiert, d.h. $b=a\cdot c$ mit einer

Einheit $c$, also einer reellen Konstante $c \neq 0$.

Die allgemeinste Definition für den lcm = kgV ist wohl

$v=kgV(\{a_1,\cdots,a_n\})$, wenn

1. $a_1 | v \wedge \cdots \wedge a_n | v$ und

2. $\forall e\in R: (a_1 | e \wedge \cdots \wedge a_n | e)\Rightarrow v | e$.

Uns interessiert $kgV(\{-5\})$. Da $-5$ eine Einheit ist, gilt

$-5 | 1$ und $(-5 | e \Rightarrow 1 | e)$ für alle $e\in R$,

also ist 1 ein kgV.