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Aufgabe:

Weshalb ist lcm({-5})=1 in ℝ[x]?

Kann mir jemand der Hintergrund erklären?

Vielen Dank im voraus

lcm=kgv

von

Was bedeutet  lcm({-5}) ?

Das stand bei uns genau so im Skript. Das kleinste gemeinsame vielfache der Menge mit -5.

Die Lösung wäre 1 in R[x] aber warum?

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\(R:=\mathbb{R}[X]\) ist ein euklidischer Ring, also

auch ein Hauptidealring, in dem z.B. die eindeutige

Primelement-Zerlegung gilt. Die Einheiten von \(R\)

sind \(R^*=\mathbb{R}^*\). Gilt \(a\; | \; b\) und \(b \; | \; a\),

so sind \(a\) und \(b\) assoziiert, d.h. \(b=a\cdot c\) mit einer

Einheit \(c\), also einer reellen Konstante \(c \neq 0\).

Die allgemeinste Definition für den lcm = kgV ist wohl

\(v=kgV(\{a_1,\cdots,a_n\})\), wenn

1. \(a_1 | v \wedge \cdots \wedge a_n | v\) und

2. \(\forall e\in R: (a_1 | e \wedge \cdots \wedge a_n | e)\Rightarrow v | e\).

Uns interessiert \(kgV(\{-5\})\). Da \(-5\) eine Einheit ist, gilt

\(-5 | 1\) und \((-5 | e \Rightarrow 1 | e)\) für alle \(e\in R\),

also ist 1 ein kgV.

von 21 k

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