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Aufgabe:

Berechnen Sie den Inhalt der Fläche Aa, die im 4. Quadranten zwischen dem graphen von fa= a^2*x-e^(ax), der geraden ga(x)= a^2*x-e und der x-achse liegt, in Abhängigkeit von a.


Problem/Ansatz:

Ich habe erst einmal den Schnittpunkt der beiden berechnet. Dieser liegt bei x=1/a und y=a-e

Jetzt würde ich das Integral von fa(x)-ga(x) also -e^(ax)+e machen, aber ich weiß nicht wie. Und muss man nun nach x oder a aufleiten?

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Und muss man nun nach x oder a aufleiten?

Das x ist die Integrationsvariable, a ist eine Konstante.

-e^(ax)+e hat als eine Stammfunktion (-1/a)e^(ax)+e*x.

von 258 k 🚀

Und wie bekomm ich nun den Flächeninhalt raus?

Und wie bekomm ich nun den Flächeninhalt raus?

Das klingt doch sehr nach Integralrechnung. Meinst du nicht auch?

Ja, jetzt hab ich A=1/a FE. Kann das passen?

Ist was gesagt über das Vorzeichen von a ?

Ja, da steht: a>0

Hast du die Funktionen richtig angegeben? Zeichne das mal für a = 1, a = 2, a = 3

Besonders der Fall a = 3 dürfte sehr interessant sein.

Als Fläche bekomme ich so einen Wert von

A = (e^2 - 2·a)/(2·a^2)

heraus. a = 3 müsste aber unter anderem aber ausgeschlossen werden.

Wenn dein Schnittpunkt stimmt:

Dieser liegt bei x=1/a und y=a-e

Dann liegt der ja nur für a<e im 4. Quadranten.

Jetzt weiß ich auch nicht mehr

Jetzt weiß ich auch nicht mehr

Dann mach mal ein Foto von der Aufgabe. Ansonsten kann ich nur sagen, dass die blöd gestellt ist.

Aber nur um auszuschließen, dass du die Funktionen verkehrt abgeschrieben hast oder ich die falsch interpretiere,

IMG_20220817_184616.jpg

Text erkannt:

34. Rechts ist ein Computerausdruck einiger Graphen der Kurvenschar \( f_{a}(x)=a^{2} x-e^{a x} \), \( a>0 \), abgebildet. Im Folgenden sollen einige Eigenschaften dieser Schar untersucht werden.
a) Skizzieren Sie den Graphen von \( \mathrm{f}_{1}(\mathrm{x})=\mathrm{x}-\mathrm{e}^{\mathrm{x}} \) durch additive Überlagerung der Graphen der beiden Teilterme \( \mathrm{g}(\mathrm{x})=\mathrm{x} \) und \( \mathrm{h}(\mathrm{x})=-\mathrm{e}^{\mathrm{x}} \).
Welcher Graph der abgebildeten Schar ist der Graph von \( \mathrm{f}_{1} \), Graph I oder II oder III?
b) Bestimmen Sie die Ableitungen \( \mathrm{f}_{\mathrm{a}}^{\prime} \) und \( \mathrm{f}_{\mathrm{a}}^{\prime \prime} \). Untersuchen Sie anschließend \( f_{a} \) auf Extrema und Wendepunkte.
c) Welche Scharkurve \( \mathrm{f}_{\mathrm{a}} \) besitzt einen direkt auf der x-Achse liegenden Extremalpunkt?
d) Gesucht ist die allgemeine Stammfunktion \( \mathrm{F}_{\mathrm{a}} \) von \( f_{a} \). Welche Stammfunktion von \( f_{1} \) geht durch den Punkt \( \mathrm{P}(0 \mid 1) \) ?
e) Berechnen Sie den Inhalt der Fläche \( A_{a} \), die im 4. Quadranten zwischen dem Graphen von \( \mathrm{f}_{\mathrm{a}} \), der Geraden \( \mathrm{g}_{\mathrm{a}}(\mathrm{x})=\mathrm{a}^{2} \mathrm{x}-\mathrm{e} \) und der \( \mathrm{y} \)-Achse liegt, in Abhängigkeit von \( \mathrm{a} \). Skizzieren Sie diese Fläche für \( \mathrm{a}=1 \). Wie groß ist der Inhalt in diesem Fall?

Aha. Siehst du wenigstens den Fehler den du beim Abschreiben gemacht hast?

Finde ich nicht

Du hattest im Text x-Achse

statt y-Achse geschrieben.

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f(x) = a^2·x - e^(a·x)

g(x) = a^2·x - e

d(x) = f(x) - g(x) = e - e^(a·x) = 0 --> x = 1/a

D(x) = e·x - 1/a·e^(a·x)

∫ (0 bis 1/a) d(x) dx = 1/a

D.h. hier beträgt die Fläche tatsächlich

A = 1/a

von 429 k 🚀

Das habe ich auch so :)

Aber auch hier hat die Aufgabenstellung einen Fehler, denn nicht für alle a > 0 befindet sich diese Fläche nur im 4. Quadranten. Darauf sollte man den Lehrer bei der Berechnung hinweisen.

Ok, für welches a ist beispielsweise die Fläche nicht im 4. Quadranten?

Für a = 3 z.B. weil sich dann der Schnittpunkt im 1. Quadranten befindet.

Das kannst du aber sehr leicht auch selber herausfinden wenn du mal Geogebra bemühst dir das Zeichnen zu lassen.

https://www.geogebra.org/classic/g9jhxega

Ja, stimmt. Vielen lieben Dank!

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