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Aufgabe

Erklärung warum man graphisch aus einem gegebenen Funktionsgraphen den Graphen der Umkehrfunktion ermitteln kann ?

von

3 Antworten

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Du siehst hier als Beispiel die Funktion \(y=x^2\) und die Umkehrfunktion \(x=\pm \sqrt{y} \)

blob.png

von 31 k

Umkehren durch Drehen funktioniert aber nur in Ausnahmefällen, oder?

Mir fällt gerade kein Mittelschulbeispiel ein, wo es nicht "durch Drehen" funktioniert.

Mir fällt gerade kein Mittelschulbeispiel ein, wo es nicht "durch Drehen" funktioniert.

\(y=2\cdot x\)

y = 2x,           x = y/2                    mit "Drehen" (inkl. Skala):

blob.png

Na ja, du hast den Graphen und die Achsen gedreht. Was hat sich denn da geändert?

Ich habe den Graphen um den Ursprung gedreht.

So müsste es eigentlich aussehen:

blob.png

die Umkehrfunktion \(x=\pm \sqrt{y} \)

Das ist keine Funktion!

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Eine Funktion f ordnet jedem Wert x der Definitionsmenge einen Wert y der Wertemenge zu.

Die Umkehrfunktion f^{-1} versucht jetzt jedem Funktionswert y der Wertemenge wieder den passenden Wert der Definitionsmenge zuzuordnen. Dieses ist allerdings nur bei Bijektiven Funktionen möglich, die eine Eindeutige Umkehrung besitzen.

Aus dem Punkt (x | y) des Graphen von f, wird dann durch Vertauschung der Punkt (y | x) des Graphen von f^{-1}.

Man erhält den Graphen von f^{-1} indem man jeden Punkt des Graphen von f an der ersten Hauptdiagonalen y = x im Koordinatensystem spiegelt.

Wir nehmen mal eine lineare Funktion

f: y = a·x + b mit a ≠ 0
y - b = a·x
(y - b)/a = x
x = (y - b)/a

Bei der Umkehrfunktion vertauscht man jetzt x und y und schreibt

f^{-1}: y = (x - b)/a

Zeichne dir jetzt ein paar passende Graphen mit ihren Umkehrfunktionen ein.

Skizze

https://www.geogebra.org/classic/b4xjdewe

Achtung: Eine Drehung des Koordinatensystems um 90 Grad nach rechts alleine erzeugt keine Umkehrfunktion. Vielmehr müsste danach noch die y-Achse an der x-Achse gespiegelt werden.

von 430 k 🚀
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Wähle einen Punkt auf dem Graphen einer Funktion. Vertausche x- und y-Koordinate. Du hast jetzt einen Punkt auf dem Graphen der Umkehrfunktion.

Diese Vertauschung entspricht einer Spiegelung des Punkte an der Geraden y = x.

Deshalb kann man graphisch aus einem gegebenen Funktionsgraphen den Graphen der Umkehrfunktion ermitteln.

von 88 k 🚀

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