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Aufgabe:

Gibt es eine Uhrzeit, bei der die drei Zeiger paarweise einen 120°-Winkel bilden ?

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Du meinst bei den drei Zeigern H, M, S sollen sich zwischen H und M, sowie H und S und gleichzeitig bei M und S ein Winkel von 120° ergeben?


Wenn ich mir eine Zeiten suche, welche für die Zeiger und H(our) und M(inute) 120° ergeben, so passt meiner Ansicht nach das nie für den Sekundenzeiger S: Nein.

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Brute force sagt nein, ich hoffe, ich hab keinen Fehler gemacht. Falls ihr wissen wollt, was genau ich gerechnet hab, schreibts nochmal. LG

1 Antwort

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Hallo,

wenn sich Sekunden-, Minuten- und Stundenzeiger mit den Winkelgeschwindigkeiten \(\omega_s\), \(\omega_m\) und \(\omega_h\) bewegen, und der Winkel zwischen Sekunden- und Minuten- und der zwischen Minuten- und Stundenzeiger jeweils \(120°\) betragen soll, so gilt$$\left(\omega_s - \omega_m\right) t = \pm 120° + 360°k_1\quad k_1 \in \mathbb Z \\ \left(\omega_m - \omega_h\right) t = \pm 120° + 360°k_2\quad k_2 \in \mathbb Z$$Die Geschwindigkeiten sind$$\omega_s = 60 \cdot 360°\,\text{h}^{-1}, \quad \omega_m=360°\, \text h^{-1}, \quad \omega_h = 30°\,\text h^{-1}$$Oben Einsetzen unter Vernachlässigung der Einheiten; die Zeit \(t \in \mathbb Q\) ist nun in Stunden zu zählen:$$\begin{aligned} (60-1)360 t &= \pm 120 + 360k_1 &&|\,\div 120\\ (360-30)t &= \pm 120 + 360k_2&&|\, \div 30\\ 3\cdot 59t &= \pm1 +3k_1 \\ 11 t &= \pm 4 + 12k_2 &&|\,t\space\text{eliminieren}\\ \implies 11(\pm1 +3k_1) &= 3\cdot 59(\pm 4 + 12k_2) \\ 11\cdot 3k_1 - 3\cdot 59\cdot 12k_2 &= \pm 3\cdot 59 \cdot 4 \mp 11 \\ \end{aligned}$$Das gibt diese Diophantische Gleichung, die offensichtlich mit \(k_1,\,k_2\in\mathbb Z\) nicht lösbar ist, da die linke Seite unabhängig von der Wahl von \(k_{1,2}\) immer durch \(3\) teilbar ist und die rechte Seite nicht.

Daraus folgt: Es gibt keine Uhrzeit, zu der die drei Zeiger paarweise einen Winkel von 120° bilden.

Gruß Werner

vor von 43 k

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