Ein Hellseher behauptet, dass er die Farbe jeder Karte vorhersagen kann.

Question

Aufgabe:

Ein Hellseher behauptet, dass er die Farbe jeder Karte vorhersagen kann, die zufällig aus einem Standardspiel mit 52 Karten gezogen wird, natürlich ohne sie offen zu sehen.
In einem Test gelingt es ihm bei 4 von 6 Karten. Führen Sie einen Test auf dem Signifikanzniveau von 2,5 % durch, um zu sehen ob seine Behauptung realistisch ist.

Comments

Sind mit Farben rot und schwarz gemeint, oder vielleicht Kreuz, Pik, Herz und Karo?

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Kreuz, Pik, Herz und Karo?

Das sind keine Farben sondern Symbole.

rot und schwarz

Ja rot und schwarz und ohne Zurücklegen.

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Jede Karte ist durch zwei Parameter bestimmt: einen Wert und ein Symbol, Farbe genannt.

Quelle: wikipedia.org.

Answer 1

n = 6 ; p0 = 0.5

P-Wert

P(X ≥ 4) = 0.3475

Da der P-Wert nicht unter dem Signifikanzniveau von 2.5% liegt können wir die Nullhypothese (p0 = 0.5) nicht ablehnen. Von daher stufen wir die Behauptung als unrealistisch ein.

P(X ≥ 6) = 0.0156 < 2.5%

Er hätte schon 6 von 6 Farben richtig erraten müssen, damit wir seine Behauptung nicht als unrealistisch abtun.

Comments

P(X ≥ 4) = 0.3475

Mein Taschenrechner liefert für n = 6, p = 0.5 bei der kumulierten Binomialverteilung:

P(X kleiner gleich 4) = 0.8906

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P(X ≥ 4) = 0.3475

Das ist doch ein "größer gleich"-Zeichen oder nicht?

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Das ist doch ein "größer gleich"-Zeichen oder nicht?

Ja genau, dem Hellseher gelingt die Vorhersage aber bei genau 4 von 6 Karten, und nicht bei mindestens 4 von 6 Karten oder nicht?

"In einem Test gelingt es ihm bei 4 von 6 Karten."

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Dann informiere dich mal, was man unter dem P-Wert in Bezug auf einen Hypothesentest versteht.

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P-Wert: Die Wahrscheinlichkeit ein Ergebnis zu bekommen, das mindestens so gut wie das vom Experiment ist.

Wie gesagt, dem Hellseher gelingt die richtige Vorhersage bei diesem Experiment "bei 4 von 6 Karten". Ich sehe jetzt keine Formulierung, die nach mindestens 4 sucht.

Gibt es vielleicht noch andere Werte als den P-Wert? Ein Wert, der die Wahrscheinlichkeit berechnet, genau das Ergebnis zu bekommen, was in der Aufgabe gefragt ist, wäre vllt nicht schlecht.

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Sind mit Farben rot und schwarz gemeint, oder vielleicht Kreuz, Pik, Herz und Karo?

Weil der Kommentar von Arsinoë4 durchaus Sinn macht, mache ich das nochmals mit Kartenfarben und berechne dafür den P-Wert.

n = 6 ; p = 0.25

P-Wert

P(X ≥ 4) = 0.0376 > 2.5%

Auch hier könnten wir die Nullhypothese nicht ablehnen. Hätte er hier aber bereits 5 Kartenfarben richtig vorhergesagt, müsste man die Nullhypothese ablehnen und evtl. irgendeinen Trick vermuten, wenn man nicht an Hellseherei glaubt.

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P-Wert: Die Wahrscheinlichkeit ein Ergebnis zu bekommen, das mindestens so gut wie das vom Experiment ist.

Wie gesagt, dem Hellseher gelingt die richtige Vorhersage bei diesem Experiment "bei 4 von 6 Karten".

Ich sehe jetzt keine Formulierung, die nach mindestens 4 sucht.

Ich schon, wenn du dir die Definition vom P-Wert nochmals richtig durchliest. Deine Zitierte Definition ist allerdings nicht wirklich präzise. Halte dich lieber an Zitierfähige definitionen von anerkannten Seiten. Ich weiß nicht woher du deine Definition hast.

Gibt es vielleicht noch andere Werte als den P-Wert?

Es gibt viele Werte die Du berechnen kannst, allerdings nicht viele die eine Aussage zum Hypothesentest machen.

Du kannst natürlich auch selber eine Entscheidungsregel auf dem Signifikanzniveau von 2.5% aufstellen.

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Auch hier könnten wir die Nullhypothese nicht ablehnen.

Warum ist die Aussage, dass er jede Karte vorhersagen kann, bei 4 Richtigen wahr und bei 5 Richtigen wieder falsch? Das macht mitnichten einen Sinn.

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Nimm mal an du hast einen Spielwürfel und fragst dich ob er fair ist. D.h. das die Wahrscheinlichkeit eine "6" zu werfen hier genau 1/6 beträgt oder ob der Würfel gezinkt ist und die 6 mit einer höheren Wahrscheinlichkeit fällt (rechtsseitiger Test).

Du wirfst diesen Würfel jetzt 60 Mal und erhältst 10 Sechsen.

Die 10 wäre ja der Erwartungswert und du würdest annehmen, dass der Würfel fair ist.

Was ist, wenn du 11, 12 oder 13 Sechsen geworfen hättest. Würdest du dann immer noch denken, dass der Würfel fair ist.

Oder ab welcher Zahl an geworfenen 6en würdest du daran zweifeln, dass es ein fairer Würfel ist.

Auf einem Signifikanzniveau von 5% würde man bei 16 geworfenen 6en daran zweifeln, dass der Würfel fair ist und eher davon ausgehen, dass der Würfel manipuliert ist.

P-Wert: P(X >= 16) = 0.0338 < 5%

Wenn man also ab 16 Sechsen davon ausgeht, einen gezinkten Würfel zu haben, macht man in unter 5% der Fälle einen Fehler. Also in 1/20 der Fälle würden wir davon ausgehen, dass der Würfel gezinkt ist, obwohl er es nicht ist.

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D.h. das die Wahrscheinlichkeit eine "6" zu werfen hier genau 1/6 beträgt oder ob der Würfel gezinkt ist und die 6 mit einer höheren Wahrscheinlichkeit fällt (rechtsseitiger Test).

Also ein Würfel ist laut dir nicht gezinkt, wenn die Wahrscheinlichkeit eine 6 zu würfeln nur 1/12 beträgt? Meiner Meinung nach sollte man beide Seite testen.

Was ist, wenn du 11, 12 oder 13 Sechsen geworfen hättest. Würdest du dann immer noch denken, dass der Würfel fair ist.

Scheint immer noch fair zu sein. Es muss also eine Zahl geben, bei der man entscheidet ob der Würfel noch fair ist oder nicht.

Auf einem Signifikanzniveau von 5% 

Wie gesagt, ich würde beide Seiten betrachten, dann hätte man 2.5% auf der linken Seite und 2.5% auf der rechten Seite. Das ließe sich so darstellen:

Wie soll man sich das mit der 5% nur der rechten Seite vorstellen? Wenn nur 1 mal eine 6 geworfen wird, ist der Würfel nicht gezinkt?

Du sagst, man würde bei 16 geworfenen 6-en daran zweifeln. Würde sich diese Zahl bei einer beidseitigen Betrachtung nicht minimal erhöhen?

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Also ein Würfel ist laut dir nicht gezinkt, wenn die Wahrscheinlichkeit eine 6 zu würfeln nur 1/12 beträgt? Meiner Meinung nach sollte man beide Seite testen.

Ich gehe für dich vereinfacht davon aus das bekannt ist das Harald immer gezinkte Würfel dabei hat die er gerne benutzt um gegen uns zu gewinnen. Und bei denen die Wahrscheinlichkeit für eine 6 erhöht ist also mehr als 1/6 beträgt.

Ich gehe nicht davon aus das die 6 mit einer Wahrscheinlichkeit von unter 1/6 fällt. Das ist ein anderer Test.

Du sagst, man würde bei 16 geworfenen 6-en daran zweifeln. Würde sich diese Zahl bei einer beidseitigen Betrachtung nicht minimal erhöhen?

Ja bei einem Beidseitigen Test würde man erst bei 17 Sechsen davon ausgehen das der Würfel gezinkt ist, bei gleichbleibendem Signifikanzniveau von 5%

Und jetzt berechte mal die P-Werte

P(X ≥16) = ...
P(X ≥ 17) = ...

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Ich gehe für dich vereinfacht davon aus das bekannt ist das Harald immer gezinkte Würfel dabei hat die er gerne benutzt um gegen uns zu gewinnen.

Das ein Würfel nur gezinkt sei, wenn man öfter eine 6 als sonst würfelt ist ein Irrglaube. Harald kann uns genau so gut gezinkte Würfel geben, mit denen wir mit einer Wahrscheinlichkeit von weniger als 1/6 eine 6 würfeln und öfter eine 1, damit wir verlieren und er gewinnt.

erst bei 17 Sechsen

Hab ich mir gedacht. ^^

Und was hat das jetzt alles mit dem Hellseher und dem p-Test zu tun?

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Und was hat das jetzt alles mit dem Hellseher und dem p-Test zu tun?

Du willst wissen, ob der Hellseher nur rät oder ob er Tricks benutzt oder tatsächlich hellseherische Kräfte hat.

Würde ich dem Hellseher von 60 Karten die Farbe (rot, schwarz) raten lassen und er liegt in 30 Fällen richtig, dann hat er sicher geraten, oder?

Liegt er in 31, 32 oder 33 Fällen richtig, hat er auch geraten, aber etwas Glück gehabt.

Aber es gibt sicher einen Wert, an dem wir vielleicht sagen, der Hellseher muss mit einem Trick arbeiten. Das wäre mind. der Fall, wenn er 60 Treffer hat, oder nicht?

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Das ein Würfel nur gezinkt sei, wenn man öfter eine 6 als sonst würfelt ist ein Irrglaube. Harald kann uns genau so gut gezinkte Würfel geben, mit denen wir mit einer Wahrscheinlichkeit von weniger als 1/6 eine 6 würfeln und öfter eine 1, damit wir verlieren und er gewinnt.

Du sollst die Aufgabe nicht ändern, sondern das nehmen, was ich vorgebe. Ich lege dir einen Würfel vor und du sollst anhand eines Testes entscheiden, ob er fair ist oder so gezinkt, dass die Wahrscheinlichkeit für die 6 erhöht, also größer als 1/6 ist.

Und nein. Ich habe keine Würfel, bei denen die Wahrscheinlichkeit für eine 6 kleiner als 1/6 ist. Also kannst du den Fall ausschließen.

Du musst lernen, das zu nehmen, was dort steht.

Wenn ich sage, ich habe eine rote und eine grüne Kugel, dann kannst du ja auch nicht sagen, ich ziehe die blaue, weil ich weiß, es gibt irgendwo auch noch blaue Kugeln.

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Und jetzt berechte mal die P-Werte

P(X ≥16) = ...
P(X ≥ 17) = ...

Ja da gibt's ja nichts zu berechnen. Wenn ich das berechnen würde, säße ich noch um 3:00 Nacht hier. Ich habe aber noch einen riesigen Berg Matheaufgaben vor mir, also kommt das nicht in Frage. Das könntest du ja mal als Übung machen.

Tafelwerk liefert:
P(X ≥16) = 0.9941
P(X ≥ 17) = 0.9987

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P(X ≥16) = 0.9941
P(X ≥ 17) = 0.9987

Völliger Blödsinn

Hast du n = 60 und p = 1/6 genommen?

Das rechnet jeder etwas bessere Taschenrecher aus.

Ich glaube in meinem Tafelwerk ist keine Tabelle für n = 60

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Aber es gibt sicher einen Wert, an dem wir vielleicht sagen, der Hellseher muss mit einem Trick arbeiten. Das wäre mind. der Fall, wenn er 60 Treffer hat, oder nicht?

Jetzt verstehe ich die Betrachtungsweise.

Aber aus der Sicht des Hellsehers, ist die Nullhypothese doch H0 = 100%. Müsste man dann nicht einen linksseitigen Test durchführen und schauen, bei wie wenigen Treffer, seine Behauptung falsch ist? Liegt er in 49, 50 oder 51 Fällen richtig, kann an seiner Fähigkeit doch immer noch was dran sein.

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Hast du n = 60 und p = 1/6 genommen?

Nein, ich habe n = 20 und p = 0.5 genommen.

https://www.di-mgt.com.au/binomial-calculator.html

Interessant was hier teilweise für Blödsinn empfohlen wird. Diese Seite hat mir hier jemand vorgeschlagen, als ich mal gefragt hatte, welche Seite binomcdf berechnen kann...

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Für p = 1 würde es nur einen Ausgang des Experiments geben. Er sagt alle 6 Karten vorher. Alles andere widerspricht dem und muss zur Ablehnung der Hypothese führen.

Und auch wenn ein Hellseher gut ist, dann vielleicht doch nie so gut, dass er 100% richtig vorhersagt.

Aber es würde ja auch langen, wenn ein Hellseher immer nur 3 richtige Zahlen beim Lotto vorhersagt. Er muss ja nicht gleich alle 6 Zahlen schaffen richtig zu tippen.

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Nein, ich habe n = 20 und p = 0.5 genommen.

Und wie kommst du auf die Idee n = 20 und p = 0.5 zu nehmen?

Das kann man doch nur nehmen, wenn man nichts von dem verstanden hat über das, was wir gesprochen haben und das finde ich schon äußerst bedauerlich.

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Das ist doch egal ob ich n = 20 und p = 0.5, es kommt doch fast das gleiche bei raus:

0.9836
0.9926

So eine minimale Abweichung als völligen Blödsinn abzustempeln find ich übertrieben.

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Du hast ja schon Probleme, kleiner-gleich und größer-gleich auseinanderzuhalten. Da fällt mir dann auch nichts mehr ein, wenn du auf deinen Fehlern beharrst

P(X ≥16) = 0.9941
P(X ≥ 17) = 0.9987

Ist absoluter Blödsinn. Achte wenigstens darauf, dass was du schreibst richtig ist.

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P(X ≥16)  = P(X ≤15) =  0.9662
P(X ≥ 17) = P(X ≤ 16) = 0.9836

Man könnte, statt Blödsinn ganz einfach auch sagen, dass ich einfach in der Zeile verrutscht bin.

Blödsinn wäre es sich die Mühe zu machen und es statt aus einer Tabelle abzulesen oder es mit einem Taschenrechner zu bestimmen, das Ergebnis versuchen zu berechnen, so wie du das vorgeschlagen hast.

Achte wenigstens darauf, dass was du schreibst richtig ist.

Mein Vorschlag wäre, dass du selber mal versuchst richtig zu schreiben.

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Mein Vorschlag wäre, dass du selber mal versuchst richtig zu schreiben.

Korrigiere mich gerne wenn du meinst das ich einen Fehler gemacht habe. Ich nehme Kritik gerne an und diskutiere auch gerne darüber.

Die Zeilen

P(X ≥16)  = P(X ≤15) =  0.9662
P(X ≥ 17) = P(X ≤ 16) = 0.9836

Stimmen doch so immer noch nicht.

P(X ≥16) = P(X ≤15)

Das ist doch etwas vollig anderes. Man kann bei einer Binomialverteilung sagen

P(X ≥16) + P(X ≤15) = 1

oder

P(X ≥16) = 1 - P(X ≤15)

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Korrigiere mich gerne wenn du meinst das ich einen Fehler gemacht habe.

Das würde viel zu lange, wenn ich alle deine Rechtschreibfehler korrigieren würde.

Aber darum soll es eigentlich auch nicht gehen sondern um Mathematik:

P(X ≥ 4) = 0.0376 > 2.5%

Meine Rechnung sieht so aus:
P(X ≥ 4) = P(X ≤ 2) = 0.1694

Kann es sein, dass du "absoluten Blödsinn" geschrieben hast, oder in meinen Worten: Kann es sein, dass Sie in der Zeile verrutscht sind?

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Warum nimmst du jetzt p = 0.25 in der Tabelle? Geht es dir jetzt doch um Kartenfarben Kreuz, Pik, Herz, Karo oder um die Farben rot und schwarz.

Hier mit p = 0.25 von geogebra

Du siehst P(X ≥ 4) = 0.0376

Beachte, dass du bei deiner Tabelle benutzen kannst:

P(X ≥ 4) = P(X > 3) = 0.0376

Auch dort kommst du also auf die gesuchte Wahrscheinlichkeit, wenn du richtig abliest.

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Könnten Sie nochmal sagen was hier die H0 und die H1 Hypothese ist?

H0 ist 0.25 und H1 ist ungleich 0.25? Also ein beidseitiger Test, wie bei dem Beispiel mit dem gezinkten Würfel?

Da, wenn man ein bisschen außerhalb der Box denkt, müsste ja auch irgendetwas nicht mit rechten Dingen zugehen, wenn der Hellseher zu oft mit seiner Vorhersage daneben liegt. Er könnte beispielsweise absichtlich falsche Antworten geben, um den Fakt, dass er ein Hellseher ist, zu vertuschen.

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H0: p = 1/4

Er bestimmt die Farbe (Kreuz, Pik, Herz, Karo) durch puren raten.

H1: P > 1/4

Er besitzt Fähigkeiten, die ihm eine höhere Wahrscheinlichkeit bei der Bestimmung der Farben bescheren.

Es ist ein einseitiger Test. Das ein Hellseher schlechter ist als pures raten kommt für uns nicht infrage.