Ich bräuchte Hilfe bei Ableitung

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie die partielle Ableitung f1‘(x1, x2) der Funktion
f(x1,x2) = - 16 •In (x1) - 40 • In (х2)
an der Stelle a=
(2.5)
(3.5)

Problem/Ansatz:

Hat jemand dazu Lösungen/ Rechenwege? Hab noch nie etwas von partieller Ableitung gehört.

Comments

Wer stellt solche Aufgaben, wenn so etwas nie in einer Lehrveranstaltung drangekommen ist?

Answer 1

Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge... \o/

Variablen können grundsätzlich immer verschiedene Werte annehmen (daher ihr Name). Bei einer partiellen Ableitung werden diese Werte vorher gewählt und dann während der Ableitung festgehalten. Das gilt für alle Variablen außer für die eine, nach der abgeleitet wird.

Im vorliegenden Fall haben wir zwei Variablen $x_1$ und $x_2$. Diese nenne ich im Folgenden $x$ und $y$, um mir die Indizes zu sparen:$$f(x;y)=-16\ln(x)-40\ln(y)$$

Bei der partiellen Ableitung nach $x$ wird der Wert für die Variable $y$ festgehalten, d.h. wir können $y$ wie eine konstante Zahl behandeln. Da die Ableitung einer konstanten Zahl gleich Null ist, müssen wir nur $\ln(x)$ ableiten:$$\frac{\partial f(x;y)}{\partial x}=-16\cdot\frac1x-0=-\frac{16}{x}$$

Speziell an der Stelle $\vec a=(2,5|3,5)$ ist $x=2,5$ und $y=3,5$. Da $y$ in der partiellen Ableitung aber überhaupt nicht mehr vorkommt, gilt hier einfach:

$$\frac{\partial f(2,5\,;\,3,5)}{\partial x}=-\frac{16}{2,5}=-\frac{16}{\frac52}=-\frac{32}{5}=-6,4$$

Comments

Liebe geht raus, VIEELEN DANK!!

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Können Sie mir bei meiner nächsten Aufgabe vielleicht auch weiterhelfen?

Ein Unternehmen weist folgende Produktionsfunktion auf
F(K, L) = KL³
Der Preis für eine Einheit Kapital beträgt pk = 6 und der Preis für eine Einheit Arbeit beträgt PL = 8. Minimieren
Sie die Kosten des Unternehmers unter Berücksichtigung seiner Produktionsfunktion, wenn ein Output von 140
ME produziert werden soll.
+
Wie hoch ist die Menge des Inputfaktors Kapital in diesem Kostenminimum?

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In den Kommentaren sollen eigentlich nur Nachfragen zu der Hauptfrage gestetellt werden. Daher würde ich dich bitten, deine neue Frage in einem neuen Thread hier einzustellen. Dann kann sie von allen Helfern gesehen werden und du hast eine höhere Chance auf eine Antwort ;)

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Ok, danke für die Info

Ist eingestellt

Answer 2

f(x1,x2) = - 16 •In (x1) - 40 • In (х2)

partielle Ableitung nach einer der Variablen (z.B. df/dx1 )  geht wie

Ableitung, allerdings wird die 2.Variable dann als Konstante betrachtet.

Also df/dx1 (f(x1,x2)) = -16 / x1 - 0 =  -16 / x1

     df/dx2 (f(x1,x2)) = 0 -40 / x2 - 0 =  -40 / x2

Comments

Danke,

und was mache ich dann mit dem a? also den 2,5 und 3,5? Wie komme ich dann letztendlich auf das Endergebnis

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z.B. bei a=(2.5)   [wohl (2 , 5)   ] ist x1=2 und x2=5.

Das musst du einsetzen .

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Ich bin durch die Rechnung

-16/2,5-40•ln(3,5) auf das Ergebnis -56,51 gekommen und das ist falsch

Hat jemand zu dieser Aufgabe die richtige Lösung? Das wäre sehr wichtig bitte