Zeigen Sie : Ist u nach Bogenlänge parametrisiert, so ist auch F ◦ u nach Bogenlänge

Question

Aufgabe:

Sei u: I → Rⁿ eine parametrisierte Kurve, und sei F : Rⁿ→ Rⁿ eine Isometrie.

a) Zeigen Sie : Ist u nach Bogenlänge parametrisiert, so ist auch F ◦ u nach Bogenlänge
parametrisiert.

b) Sei n = 2 und F eine orientierungserhaltende Isometrie, d.h. F(x) = A · x + b, mit
A ∈ SO(2) und b ∈ R²

Zeigen Sie, dass F ◦ u dieselbe Krümmung hat wie u.
Was geschieht bei einer orientierungsumkehrenden Isometrie F (d.h. F(x) = A·x+b mit A ∈ O(2) \ SO(2) und b ∈ R²)

Problem/Ansatz:

Verstehe nicht, wie man das beweisen soll :/.

Answer 1

a) Seien \(a,b\in \mathbb{R}\) mit \(I = [a, b]\). Zeige

        \(\int_a^x \left\Vert (F\circ u)' (t)\right\Vert \mathrm{d}t = x-a\)

für alle \(x\in I\).

Comments

kannst du mir biite erläutern, was man genau machen muss

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Mit der Kettenregel. Die ist dazu da, Verkettungen wie zum Beispiel \(F\circ u\) abzuleiten.

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Erstmal vielen Dank für deine Hilfe.

Ich habe es mehrmals versucht, aber irgendwie wüsste ich jetzt nicht, wie man das formal lösen würde. Könnest du mir die Beweisschritte zeigen, damit ich verstehe, was wirklich Sache ist. Ich komme leider nicht darauf