Induktionsbeweis Natürliche Zahlen

Question

Aufgabe:

4. Beweisen Sie mithilfe der vollständigen Induktion:
a) $1^{2}+3^{2}+\ldots+(2 n-1)^{2}=\frac{n \cdot(2 n-1) \cdot(2 n+1)}{3}$ für alle natürlichen Zahlen $n$.

Problem/Ansatz:

$(2 n-1)^{2}+n+1$
$=\frac{n(2 n-1) \cdot(2 n+1)}{3}$
$1 A: \sum \limits_{k=1}^{n} k=\frac{n(2 n-1)(2 n+1)}{3}$ für ein beliebizes $n$
13: dann giet fir
$\begin{aligned} \sum \limits_{k=1}^{n+1} k &=\frac{(n+1)(2(n+1)-1)(2(n+1)+1)}{3} \\ &=(n+1)(2 n+2-1)(2 n+2+1) \\ &=\frac{\left(2 n^{2}+n+2 n+1\right)(2 n+3)}{3} \\ &=\frac{4 n^{3}+2 n^{2}+4 n^{2}+2 n+6 n^{2}+3 n+6 n+3}{3} \\ &=\frac{4 n^{3}+10 n^{2}+11 n+3}{3} \\ \left(4 n^{3}-2 n^{2}-1 n\right) \end{aligned}$

Der letzte Teil der Aufgabe ergibt sich, wenn ich die linke Seite auch mit n+1 hinzuziehe. Ich verstehe nicht genau, wie ich hier vorgehen soll. Das ist jetzt mein 4. Anlauf und ich weiß immer noch nicht die Lösung

Comments

Wieso $\sum k$ und nicht $\sum k^2$ ?

---

Besser:$$\sum \limits_{k=1}^{n} (2k-1)^2=\frac{n(2 n-1)(2 n+1)}{3}$$Ist erfüllt für $n=1$ (Induktionsanfang)

---

@Werner Salomon: Da hast du Recht. Irgendwie war ich wohl
noch nicht so ganz wach.

Answer 1

Aloha :)

Die Behauptung lautet:$$S_n\coloneqq1^2+3^2+\cdots+(2n-1)^2=\frac{n(2n-1)(2n+1)}{3}\quad;\quad n\in\mathbb N$$

Induktionsverankerung bei $n=1$:

$$S_1=\frac{1\cdot(2\cdot1-1)\cdot(2\cdot1+1)}{3}=\frac{1\cdot1\cdot3}{3}=1\quad\checkmark$$

Induktionsschritt von $n$ auf $(n+1)$:

Hier hast du in deinem Ansatz die Klammern ausmultiplziert. Das würde ich nicht empfehlen, da du das Ergebnis ja wieder in Linearfaktoren zerlegen musst, um die Gleichheit zu $S_{n+1}$ deutlich zu machen.

Mein Vorschlag sieht so aus:$$S_{\pink{n+1}}=S_n+(2\pink{(n+1)}-1)^2=S_n+(2n+1)^2$$Jetzt setzen wir schon den Audruck für $S_n$ als Induktionsvorausstzung ein:$$\phantom{S_{\pink{n+1}}}=\frac{n(2n-1)(2n+1)}{3}+\green{(2n+1)^2}=\frac{n(2n-1)(2n+1)}{3}+\green{\frac{3(2n+1)(2n+1)}{3}}$$$$\phantom{S_{\pink{n+1}}}=\frac{n(2n-1)\red{(2n+1)}+3(2n+1)\red{(2n+1)}}{3}=\frac{\red{(2n+1)}\cdot(n(2n-1)+3(2n+1))}{3}$$$$\phantom{S_{\pink{n+1}}}=\frac{\red{(2n+1)}\cdot((2n^2\blue{-n})+(\blue{6n}+3))}{3}=\frac{\red{(2n+1)}\cdot((2n^2\blue{+3n})+(\blue{2n}+3))}{3}$$$$\phantom{S_{\pink{n+1}}}=\frac{\red{(2n+1)}\cdot(n\cdot\green{(2n+3)}+1\cdot\green{(2n+3)})}{3}=\frac{\red{(2n+1)}(n+1)\green{(2n+3)}}{3}$$$$\phantom{S_{\pink{n+1}}}=\frac{(n+1)\red{(2n+1)}\green{(2n+3)}}{3}=\frac{\pink{(n+1)}\cdot(2\pink{(n+1)}-1)\cdot(2\pink{(n+1)}+1)}{3}\quad\checkmark$$

Comments

Also musste ich das (n+1) gar nicht auf beiden Seiten einsetzen. Vielen Dank das war sehr aufschlussreich!

Answer 2

Addiere in der Induktionsvoraussetzung auf beiden Seiten die nächste ungerade Quadratzahl. Dann erhältst du nach geschickter Umformung (auch rückwärts arbeiten) die Induktionsbehauptung.