vereinfachen Term mit Summenzeichen

Question

Aufgabe:

Sei $n \geqq 2$. Vereinfachen Sie die Summe
$\sum \limits_{k=3}^{n+2} n(k-2)+\sum \limits_{j=1}^{n}\left(\frac{(2 j+1)(2 j-1)}{(j-1)(j+1)-j^{2}-1}-\frac{\left(\begin{array}{l} n \\ 2 \end{array}\right)}{(n-1)\left(\begin{array}{c} n \\ n-1 \end{array}\right)}\right)$

Muss man da so ein Indexschift mache, weil beide Summen beginnen nicht mit 2?

Ich habe folgendes vereinfacht : $\frac{(2 j+1)(2 j-1)}{(j-1)(j+1)-j^{2}-1}$

wird zu $\frac{4j^2+1}{0}$ Man darf ja nicht durch 0 teilen?

$\frac{\left(\begin{array}{l}n \\ 2\end{array}\right)}{(n-1)\left(\begin{array}{c}n \\ n-1\end{array}\right)}$

wird bei mir zu 1/2 richtig?

Comments

wird bei mir zu 1/2 richtig?

Ja

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ich hab die bIn.Formel falsch angewendet.

Es sollte das rauskommen: $\frac{4j^2-1}{-2}$

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Ich habe folgendes vereinfacht : $\frac{(2 j+1)(2 j-1)}{(j-1)(j+1)-j^{2}-1}$wird zu $\frac{4j^2+1}{0}$

das ist falsch. $(j-1)(j+1)-j^2-1 = (j^2-1) - (j^2+1) = \dots$

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ich bin jetzt bis hierhin: $\sum \limits_{k=1}^{n} n k+\sum \limits_{j=1}^{n}-2 j^{2}$

ist das schon fertig oder kann man da vlt noch die Summen zusammenziehen?

Wie sieht nk gezählt aus, k=1 → 1*1 + k=2 → 2*2 + k=3 → 3*3  ? oder bleibt das k hier konstant =1

Answer 1

Muss man da so ein Indexschift mache, weil beide Summen beginnen nicht mit 2?  Ja !

z.B. so

$\sum \limits_{k=3}^{n+2} n(k-2)+\sum \limits_{j=1}^{n}\left(\frac{(2 j+1)(2 j-1)}{(j-1)(j+1)-j^{2}-1}-\frac{\left(\begin{array}{l} n \\ 2 \end{array}\right)}{(n-1)\left(\begin{array}{c} n \\ n-1 \end{array}\right)}\right)$

$\sum \limits_{k=1}^{n} nk+\sum \limits_{j=1}^{n}\left(\frac{(2 j+1)(2 j-1)}{(j-1)(j+1)-j^{2}-1}-\frac{\left(\begin{array}{l} n \\ 2 \end{array}\right)}{(n-1)\left(\begin{array}{c} n \\ n-1 \end{array}\right)}\right)$

Comments

Danke!

Aber warum muss es nicht bei k=2 beginnen, weil k=1 wäre doch auch falsch wenn es n≥2 heißt?

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Vergleiche mal für n=2

$\sum \limits_{k=3}^{n+2} n(k-2)) =\sum \limits_{k=3}^{4} n(k-2)) = 2*1+2*2$

$\sum \limits_{k=1}^{n} nk =\sum \limits_{k=1}^{2} nk = 2*1 + 2*2$  Passt !