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Aufgabe:

Es gibt eine unendlich iterierende Wurzel \( \sqrt{1 + \sqrt{1 + \sqrt{1} +......} }\) , die als Folge rekursiv durch
a1 := 1,       an+1 := \( \sqrt{1+ an} \) für n ∈ ℕ   definiert.

a) Zeigen sie, dass an  ≤ 2 für alle n∈ℕ ist.

b) Beweise, dass (an )  n∈ℕ konvergiert und bestimme den Grenzwert.


Problem/Ansatz:

Ich hänge an der Aufgabe ziemlich lange und würde daher fragen, wie löse ich die Aufgabe?

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Zu b):

Zeige, dass aus \(a_n\leq a_{n+1}\) folgt, dass \(a_{n+1}\leq a_{n+2}\) gilt.

Wegen \(a_1\leq a_2\) folgt dann, dass die Folge \((a_n)\)

monoton wächst und wegen \(a_n\leq 2\) folgt dann die Konvergenz.

Sei \(a\) der Grenzwert, dann gilt wegen der Stetigkeit der Wurzel

\(a=\sqrt{1+a}\). Hieraus kannst du \(a\) leicht bestimmen.

Avatar von 29 k

müsste der Grenzwert dann nicht 2 ergeben?

Nein, warum?
2 ist nur eine obere Schranke, aber nicht das Supremum.

Sei \(a\) der Grenzwert, dann gilt wegen der Stetigkeit der Wurzel \(a=\sqrt{1+a}\)

Dann gibt es 2 Lösungen?

Eine der Lösungen kommt nicht in Frage. Warum wohl?

Sie ist negativ, aber sie erfüllt deine Gleichung.

Wenn a der Grenzwert ist, ergibt sich meine Gleichung.
Aber nicht jede Lösung der Gleichung liefert den Grenzwert.

Wenn die 2. Lsg nicht negativ wäre, könnte man nicht so einfach erkennen, welche richtig ist.

Da hast du Recht. In solchem Fall müsste man
sich das Verhalten der Folge (z.B. Monotonie) genauer
ansehen.

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a) Zeigen sie, dass an ≤ 2 für alle n∈ℕ ist.

Zeige, dass wenn a(n) ≤ 2 gilt auch a(n + 1) ≤ 2.

Avatar von 477 k 🚀

Soll ich hier dann einen Induktive Beweis durchführen?

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