Extremwertproblem minimalen Abstand zum Ursprung

Question

Aufgabe:

Gegeben ist die Funktion $f$ mit $f(x)=-x^{2}+4$ mit $x \in[0 ; 2]$. Gesucht ist der Punkt $Q$, der auf dem Graphen der Funktion liegt und zum Ursprung den kleinsten Abstand hat. Verfahre wie in den oberen beiden Aufgaben. Tipp: Eine Wurzelfunktion wird genau dann minimal, wenn ihr Radikant minimal wird.

Problem/Ansatz:

kann mir jemand schritt für schritt erklären wie ich das hier löse danke schonmal

Answer 1

Hier eine Beschreibung:

https://www.schullv.de/resources/PDF/Minimaler%20Abstand%20Punkt-Kur…

Comments

verstehe ich nicht genau...aber danke

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Du musst nur einsetzen

P(0/0)

u= u

f(u) = -u²+4

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warum ist p(0/0)?

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Hat der Koordinatenursprung bei dir eine andere Position?

Answer 2

Aloha :)

Wir suchen den Punkt $Q(x|y)$, der auf dem Graphen der Funktion$$f(x)=-x^2+4\quad;\quad x\in[0;2]$$liegt und den minimalen Abstand vom Ursprung hat. Da $Q$ auf dem Graphen liegen soll, muss $x\in[0;2]$ liegen und der $y$-Wert ist gleich dem Funktionswert $y=f(x)$ an der Stelle $x$:$$Q(x|y)=Q(x|-x^2+4)$$Nach Pythagoras ist der Abstand $d$ dieses Punktes vom Ursprung:$$d(x)=\sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{x^2+(-x^2+4)^2}=\sqrt{x^2+(x^4-8x^2+16)}=\sqrt{x^4-7x^2+16}$$

Damit wir die Wurzelfunktion nicht weiter berücksichtigen müssen, nehmen wir den Tipp an, dass eine Wurzelfunktion minimal ist, wenn ihr Argument minimal ist. Zur Bestimmung des Minimums von $d(x)$ reicht es also, das Minium von$$g(x)\coloneqq x^4-7x^2+16$$zu bestimmen. Kandidaten für solche Minima finden wir dort, wo die Ableitung von $g(x)$ verschwindet:$$0\stackrel!=g'(x)=4x^3-14x=4x\left(x^2-\frac72\right)=4x\left(x-\sqrt{\frac72}\right)\left(x+\sqrt{\frac72}\right)$$Da wir ein $x$ zwischen $0$ und $2$ suchen, heißt under Kandidat:$\quad x_0=\sqrt{\frac72}$.

Wir prüfen den Kandidaten, indem wir ihn in die zweite Ableitung einsetzen:$$g''(x_0)=12x_0^2-14=12\cdot\frac72-14=28>0\implies\text{Minimum}$$Der zugehörige Funktionswert ist $y_0=f(x_0)=-\frac72+4=\frac12$ und der Punkt ist:$$Q\left(\sqrt{\frac72}\bigg|\frac12\right)$$

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f₁(x) = -x²+4P(0|0)P(√(7/2)|1/2)