Zeige ,dass g=1+(1/g) und an+1 =1+ (1/ab) [Fibonacci-Reihe]

Question

Aufgabe:

Hallo zusammen, ich komme bei dieser Aufgabe leider überhaupt nicht weiter. Könnte mir jemand hierbei helfen?

Die Folge (fn)n∈N sei definiert durch

f0 = 0, f1 = 1 und fn+1 = fn + fn−1.

an sei = fn+1/fn und g die eindeutig bestimmte positive Lösung der Gleichung g² = 1 + g.

(a) Zeige ,dass g=1+(1/g) und an+1 =1+ (1/ab) für allen ∈ N.
(b) Zeigen Sie mittels vollständiger Induktion, dass | an − g | = 1/fn*gⁿ für alle n ∈ N.
(c)  Zeigen Sie, dass limn→∞ an = g

Falls mir jemand helfen kann, im Voraus schonmal vielen Dank!

Grüße DMax

Answer 1

Hallo,

Willkommen in der Mathelounge!

(a) Zeige ,dass g=1+(1/g)

nehme die Gleichung einfach mit $g$ mal$$g=1+\frac{1}{g} \implies g^2 = g +1$$dann purzelt die Defintion von $g$ heraus.

... und a_n+1 =1+ (1/a_n) für allen ∈ N

$a_n$ ist definiert als$$a_n=\frac{f_{n+1}}{f_{n}}$$ich betrachte nun $a_{n+1}$$$\begin{aligned}a_{n+1} &= \frac{f_{n+2}}{f_{n+1}} \\ &= \frac{f_{n+1} + f_{n}}{f_{n+1}} \\&= 1 + \frac{f_{n}}{f_{n+1}} \\&= 1 + \frac{1}{a_n} \end{aligned}$$

(b) Zeigen Sie mittels vollständiger Induktion, dass | an − g | = 1/fn*gn für alle n ∈ N.

Das ist ein wenig tricky! Bevor es losgeht, verändere ich die Gleichung noch etwas. Der folgende Beweis soll zeigen, dass$$(-1)^n(a_n - g) = \frac{1}{f_ng^n}$$die rechte Seite ist immer positiv. Und wenn dies erfüllt ist, so gilt zwingend auch die ursprüngliche Gleichung mit den Betragstrichen.

Zeige es zunachst für ein kleines $n$ - z.B. $a=1$ (Induktionsanfang)$$(-1)^n(a_n - g) = \frac{1}{f_n \cdot g^n} \\ n=1:\quad -(\underbrace{1}_{a_1}-g)= \frac{1}{1\cdot g^1} \checkmark \quad \text{wg.: } \frac{1}{g} = g - 1\space \text{s.o.}$$Für den Induktionsschritt ist noch ein Zusammenhang wichtig. Es gilt$$g^n = g^{n-2} \cdot g^2 = g^{n-2}(g+1) = g^{n-1} + g^{n-2}$$Dann folgt der Induktionsschritt:$$\begin{aligned} (-1)^{n+1}(a_{n+1} - g) &\stackrel{?}{=} \frac{1}{f_{n+1}g^{n+1}}\\ (-1)^{n+1}\left(\frac{f_{n+2}}{f_{n+1}} - g\right) &\stackrel{?}{=} \frac{1}{f_{n+1}g^{n+1}} &&|\,\cdot f_{n+1}g^{n+1} (-1)^{n+1}\\ f_{n+2} g^{n+1} - f_{n+1}g^{n+2} &\stackrel{?}{=} (-1)^{n+1} &&|\, g^{n+2}=g^{n+1}+g^{n}\\ (f_{n+1}+f_{n}) g^{n+1} - f_{n+1}\left(g^{n+1}+g^{n}\right) &\stackrel{?}{=} (-1)^{n+1}\\ f_{n+1}g^{n+1}+f_{n}g^{n+1} - f_{n+1}g^{n+1}-f_{n+1}g^{n} &\stackrel{?}{=} (-1)^{n+1}\\ f_{n}g^{n+1} -f_{n+1}g^{n} &\stackrel{?}{=} (-1)^{n+1} &&|\,\div \left(f_{n}g^{n} (-1)^{n+1}\right)\\ (-1)^{n+1}\left(g - \frac{f_{n+1}}{f_{n}}\right) &\stackrel{?}{=} \frac{1}{f_{n}g^{n}}\\ (-1)^{n}\left(\frac{f_{n+1}}{f_{n}}-g\right) &\stackrel{?}{=} \frac{1}{f_{n}g^{n}}\\ (-1)^{n}\left(a_{n}-g\right) &= \frac{1}{f_{n}g^{n}} &&|\,\text{lt. Voraussetzung}\end{aligned}$$

(c) Zeigen Sie, dass limn→∞ an = g

Das ist mit der Lösung für (b) nun recht einfach$$\begin{aligned}\lim\limits_{n \to \infty} a_n &= g + \lim\limits_{n \to \infty} (a_n-g)\\ &= g + \underbrace{\lim\limits_{n \to \infty}\frac{(-1)^n}{f_{n}g^{n}}}_{=0} \\ &= g\end{aligned}$$Gruß Werner

Answer 2

(a) Zeige ,dass g=1+(1/g) und a_n+1 =1+ (1/a_n) für allen ∈ N.

g² = 1 + g  | : g

g =  1/g + 1   =  1 + 1/g  ✓

$a_n = \frac{f_{n+1}}{f_n}$ 

==>   $a_{n+1 }= \frac{f_{n+2}}{f_{n+1}}$

mit f_n+1 = f_n + f_n−1 also  f_n+2 = f_n+1 + f_n gibt das

$a_n+1 = \frac{f_{n+2}}{f_{n+1}} = \frac{f_{n+1}+f_n }{f_{n+1}}$

          $= 1 + \frac{f_n }{f_{n+1}} = 1 + \frac{1 }{a_{n}}$   ✓