Wie prüfe ich Reflexivität, Transitivität und Antisymmetrie?

Question

Wie muss man hier vorgehen? Wie prüfe ich hier Reflexivität, Transitivität und Antisymmetrie?

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Aufgabe \( 7.3 \) (14P). Untersuchen Sie, mit Begründung, ob die folgenden Relationen Halbordnungen sind.
1. \( \preceq \) auf \( \mathbb{R}^{2} \) :
\( x=\left(x_{1}, x_{2}\right) \preceq y=\left(y_{1}, y_{2}\right): \Longleftrightarrow x_{1} \leq y_{1} \text { und } x_{2} \leq y_{2}, \)
wobei wenn \( a, b \in \mathbb{R} \) schreiben wir \( a \leq b \) für die übliche Ordnung in \( \mathbb{R} \) (d.h. \( a \leq b \) genau dann, wenn \( b-a \in[0, \infty) \),
2. \( \preceq \) auf die Potenzmenge von \( \{1,2,3\} m \) nämlich \( \mathcal{P}(\{1,2,3\}) \) :
\( M \preceq N: \Longleftrightarrow M \subset N \)
Untersuchen Sie auch, ob die Relationen Totalordnungen sind.

Comments

hallo

da ist doch nach "Reflexivität, Transitivität und Antisymmetrie" nicht gefragt? sondern nur nach Halbordnung?

lul

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aber Halbordnung bestimmt man ja in dem man die drei Punkte prüft

Answer 1

reflexiv: Musst schauen, ob für alle (x,y)∈ℝ² gilt

(x,y) \( \preceq \) (x,y) was ja heißt x≤x und y≤y

also ist das erfüllt.

symmetrisch :  (a,b) \( \preceq \) (x,y) ==>   (x,y) \( \preceq \) (a,b)  ?

Das gilt nicht, weil z.B.   (2,3) \( \preceq \) (5,6)  aber nicht

(5,6) \( \preceq \) (2,3).

etc.

Comments

Symmetrie muss doch bei einer Halbordnung gar nicht erfüllt sein, oder?